Integral de la función arcotangente

Para resolver la integral por el método de partes, debemos elegir convenientemente las funciones $u$ y $dv$. Siguiendo la regla **ILATE** (Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales), seleccionamos: - $u = \arctan(3x)$ - $dv = dx$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una buena elección de $u$ es aquella que se simplifique al derivar.

Ahora calculamos la diferencial de $u$ y la integral de $dv$: 1. Para hallar $du$, derivamos $u = \arctan(3x)$ usando la regla de la cadena: $$du = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot (3x)' \, dx = \frac{3}{1+9x^2} \, dx$$ 2. Para hallar $v$, integramos $dv$: $$v = \int dx = x$$ 💡 **Tip:** La derivada de $\arctan(f(x))$ es $\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}$.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \arctan(3x) \, dx = x \cdot \arctan(3x) - \int x \cdot \frac{3}{1+9x^2} \, dx$$ Simplificamos la expresión de la integral restante: $$\int \arctan(3x) \, dx = x \arctan(3x) - \int \frac{3x}{1+9x^2} \, dx$$

Para resolver $\int \frac{3x}{1+9x^2} \, dx$, observamos que es casi de tipo logarítmico, ya que la derivada del denominador $1+9x^2$ es $18x$. Multiplicamos y dividimos por el factor necesario para ajustar el numerador: $$\int \frac{3x}{1+9x^2} \, dx = 3 \int \frac{x}{1+9x^2} \, dx = 3 \cdot \frac{1}{18} \int \frac{18x}{1+9x^2} \, dx$$ Esto nos da: $$\frac{3}{18} \ln(1+9x^2) = \frac{1}{6} \ln(1+9x^2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C$. En este caso, $1+9x^2$ siempre es positivo, por lo que no es estrictamente necesario el valor absoluto.

Combinamos todas las partes y añadimos la constante de integración $C$: $$\int \arctan(3x) \, dx = x \arctan(3x) - \frac{1}{6} \ln(1+9x^2) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \arctan(3x) \, dx = x \arctan(3x) - \frac{1}{6} \ln(1+9x^2) + C}$$