Intersección de rectas en el espacio con parámetro

**a) Calcule $m$ para que las rectas se corten en un punto. (1.5 puntos)** Para estudiar la posición relativa de dos rectas, primero extraemos un punto y un vector director de cada una: - **Recta $r$** (en forma continua): $\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+1}{1}$ - Punto $P_r = (1, -2, -1)$ - Vector director $\vec{v_r} = (3, 2, 1)$ - **Recta $s$** (en forma paramétrica): - Punto $P_s = (1, m, -1)$ - Vector director $\vec{v_s} = (1, 3, 3)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(a, b, c)$.

Para que las rectas se corten en un punto o se crucen, sus vectores directores no deben ser proporcionales. Comprobamos la proporcionalidad entre $\vec{v_r} = (3, 2, 1)$ y $\vec{v_s} = (1, 3, 3)$: $$\frac{3}{1} \neq \frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$$ Como los vectores no son proporcionales, las rectas **o bien se cortan en un punto, o bien se cruzan en el espacio**. Para que se corten, los vectores $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y el vector que une un punto de cada recta, $\vec{P_rP_s}$, deben ser linealmente dependientes (coplanarios). Esto ocurre si el determinante de la matriz formada por ellos es cero.

Calculamos el vector $\vec{P_rP_s}$: $$\vec{P_rP_s} = P_s - P_r = (1-1, m - (-2), -1 - (-1)) = (0, m+2, 0)$$ Planteamos el determinante de la matriz $M = (\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_rP_s})$: $$\det(M) = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & m+2 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos desarrollando por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$\det(M) = -(m+2) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(m+2)(9 - 1) = -8(m+2)$$ Para que las rectas se corten, el determinante debe ser igual a cero: $$-8(m + 2) = 0 \implies m + 2 = 0 \implies m = -2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -2}$$

**b) Para ese $m$ halle el punto de corte. (1 punto)** Si $m = -2$, el punto de la recta $s$ es $P_s = (1, -2, -1)$. Observamos que el punto $P_r$ de la recta $r$ era $P_r = (1, -2, -1)$. Como $P_r = P_s$, es evidente que ese es el punto donde ambas rectas coinciden. Vamos a verificarlo sustituyendo en las ecuaciones de ambas rectas: 1. En la recta $r$: $$\frac{1-1}{3} = \frac{-2+2}{2} = -1+1 \implies 0 = 0 = 0 \quad \text{(Cumple)}$$ 2. En la recta $s$ (con $t=0$): $$\begin{cases} x = 1 + 0 = 1 \\ y = -2 + 3(0) = -2 \\ z = -1 + 3(0) = -1 \end{cases} \quad \text{(Cumple)}$$ 💡 **Tip:** Si el punto de corte no fuera tan obvio, igualaríamos las ecuaciones de ambas rectas (pasando $r$ a paramétricas con un parámetro distinto, por ejemplo $\lambda$) y resolveríamos el sistema. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(1, -2, -1)}$$