Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real $a$. (1.5 puntos)** Para estudiar la compatibilidad del sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**. Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} -a & 1 & 0 \\ -1 & a & -1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -a & 1 & 0 & 1 \\ -1 & a & -1 & 0 \\ 1 & 1 & a & 1 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema es compatible si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada ($ ext{rg}(A) = ext{rg}(A^*)$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos de $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} -a & 1 & 0 \\ -1 & a & -1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = [(-a) \cdot a \cdot a + 1 \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-1) \cdot 1] - [1 \cdot a \cdot 0 + 1 \cdot (-1) \cdot (-a) + a \cdot (-1) \cdot 1]$$ Operamos paso a paso: $$|A| = (-a^3 - 1 + 0) - (0 + a - a) = -a^3 - 1$$ Igualamos el determinante a cero para ver cuándo la matriz no tiene rango máximo: $$-a^3 - 1 = 0 \implies a^3 = -1 \implies a = \sqrt[3]{-1} = -1$$ El único valor crítico es **$a = -1$**.

Si $a \neq -1$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: $$|A| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que el número de filas (3) ni menor que el de $A$, entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ (número de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Capelli**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq -1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $a = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ comprobando si algún menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes es distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = [(-1) + 0 + 1] - [(-1) + 0 + 0] = 0 - (-1) = 1 \neq 0$$ Como hemos encontrado un menor de orden 3 no nulo en la matriz ampliada, $\text{rg}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Capelli**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**b) Resuélvalo cuando $a = 0$ si es posible. (1 punto)** Como $a = 0$ es distinto de $-1$, sabemos por el apartado anterior que el sistema es **Compatible Determinado**. Sustituimos $a = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} -(0)x + y = 1 \\ -x + (0)y - z = 0 \\ x + y + (0)z = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 1 \quad \text{(E1)} \\ -x - z = 0 \quad \text{(E2)} \\ x + y = 1 \quad \text{(E3)} \end{cases}$$ 1. De la ecuación **(E1)** obtenemos directamente: **$y = 1$**. 2. Sustituimos $y = 1$ en la ecuación **(E3)**: $$x + 1 = 1 \implies x = 0$$ 3. Sustituimos $x = 0$ en la ecuación **(E2)**: $$-0 - z = 0 \implies z = 0$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene verificar la solución sustituyendo en las tres ecuaciones originales para asegurar que no hemos cometido errores de cálculo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0, \, y = 1, \, z = 0}$$