Cálculo de límites por la regla de L'Hôpital

**a) $\lim_{x \to 1} \frac{1 - \cos(x - 1)}{(\ln x)^2}$. (1.5 puntos)** Comenzamos evaluando el límite sustituyendo $x = 1$ en la expresión: $$\lim_{x \to 1} \frac{1 - \cos(1 - 1)}{(\ln 1)^2} = \frac{1 - \cos(0)}{0^2} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$\frac{0}{0}$**. Para resolverla, aplicaremos la regla de L'Hôpital. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos dice que si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último exista.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Numerador: $f(x) = 1 - \cos(x - 1) \implies f'(x) = \sin(x - 1)$ - Denominador: $g(x) = (\ln x)^2 \implies g'(x) = 2(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}$ El límite se convierte en: $$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(x - 1)}{\frac{2 \ln x}{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{x \sin(x - 1)}{2 \ln x}$$ Si volvemos a evaluar en $x = 1$: $$\frac{1 \cdot \sin(0)}{2 \ln 1} = \frac{0}{0}$$ Persiste la indeterminación **$\frac{0}{0}$**, por lo que aplicaremos la regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos de nuevo el numerador y el denominador del nuevo cociente: - Numerador: $D[x \sin(x - 1)] = 1 \cdot \sin(x - 1) + x \cos(x - 1)$ - Denominador: $D[2 \ln x] = \frac{2}{x}$ Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(x - 1) + x \cos(x - 1)}{\frac{2}{x}} = \frac{\sin(0) + 1 \cdot \cos(0)}{\frac{2}{1}} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\frac{1}{2}}$$

**b) $\lim_{x \to 0} (x^4 + e^x)^{\frac{1}{x}}$ (1 punto)** Evaluamos el límite en $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} (0^4 + e^0)^{\frac{1}{0}} = (0 + 1)^{\infty} = 1^{\infty}$$ Se trata de una indeterminación del tipo **$1^{\infty}$**. Para resolverla, utilizaremos la relación entre el límite y el logaritmo neperiano, llamando $L$ al valor del límite: $$L = \lim_{x \to 0} (x^4 + e^x)^{\frac{1}{x}} \implies \ln L = \lim_{x \to 0} \ln\left[(x^4 + e^x)^{\frac{1}{x}}\right]$$ Aplicando las propiedades de los logaritmos: $$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(x^4 + e^x) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x^4 + e^x)}{x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(a^b) = b \cdot \ln a$. Esto permite bajar el exponente y transformar la indeterminación $1^\infty$ en una del tipo $\frac{0}{0}$.

Evaluamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(0^4 + e^0)}{0} = \frac{\ln 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador: - Derivada del numerador: $D[\ln(x^4 + e^x)] = \frac{4x^3 + e^x}{x^4 + e^x}$ - Derivada del denominador: $D[x] = 1$ El límite de $\ln L$ resulta: $$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{4x^3 + e^x}{x^4 + e^x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{4x^3 + e^x}{x^4 + e^x} = \frac{4(0)^3 + e^0}{0^4 + e^0} = \frac{0 + 1}{0 + 1} = 1$$

Una vez obtenido que $\ln L = 1$, despejamos $L$ aplicando la función exponencial en ambos lados de la igualdad: $$L = e^1 = e$$ ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{e}$$