Estudio de extremos, inflexión y monotonía de una función polinómica

**a) Obtenga sus máximos, mínimos y puntos de inflexión. (1 punto)** Para estudiar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$, primero calculamos su primera y segunda derivada. Derivamos término a término: $$f'(x) = \frac{3x^2}{3} - \frac{3 \cdot 2x}{2} + 2 = x^2 - 3x + 2$$ Derivamos de nuevo para obtener la segunda derivada: $$f''(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una potencia $x^n$, el exponente baja multiplicando y se resta uno al exponente: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. $$\boxed{f'(x) = x^2 - 3x + 2, \quad f''(x) = 2x - 3}$$

Los extremos relativos (máximos y mínimos) se encuentran entre los puntos que anulan la primera derivada ($f'(x) = 0$). Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da dos candidatos: - $x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$ - $x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$ Utilizamos el criterio de la **segunda derivada** para clasificarlos: - Para $x = 1$: $f''(1) = 2(1) - 3 = -1 < 0$. Al ser negativa, hay un **máximo relativo**. - Para $x = 2$: $f''(2) = 2(2) - 3 = 1 > 0$. Al ser positiva, hay un **mínimo relativo**. Calculamos las ordenadas correspondientes: - $f(1) = \frac{1^3}{3} - \frac{3(1^2)}{2} + 2(1) = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$ - $f(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{3(2^2)}{2} + 2(2) = \frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8 - 6}{3} = \frac{2}{3}$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(1, \frac{5}{6}\right) \quad \text{y Mínimo relativo en } \left(2, \frac{2}{3}\right)}$$

Los puntos de inflexión son aquellos donde la curvatura cambia y se encuentran donde la segunda derivada se anula ($f''(x) = 0$). $$2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}$$ Para confirmar que es un punto de inflexión, comprobamos que hay un cambio de signo en $f''(x)$ o que $f'''(x) \neq 0$. Como $f'''(x) = 2 \neq 0$ para cualquier $x$, confirmamos el punto de inflexión. Calculamos la ordenada: $$f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{(3/2)^3}{3} - \frac{3(3/2)^2}{2} + 2\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{27/8}{3} - \frac{3(9/4)}{2} + 3 = \frac{9}{8} - \frac{27}{8} + 3 = -\frac{18}{8} + 3 = -\frac{9}{4} + 3 = \frac{3}{4}$$ ✅ **Resultado (Inflexión):** $$\boxed{\text{Punto de inflexión en } \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right)}$$

**b) Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1.5 punto)** Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $x=1$ y $x=2$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \text{Función} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 1)$, tomamos $x=0$: $f'(0) = 2 > 0 \implies$ **Creciente**. - En $(1, 2)$, tomamos $x=1.5$: $f'(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(2, +\infty)$, tomamos $x=3$: $f'(3) = 9 - 9 + 2 = 2 > 0 \implies$ **Creciente**. 💡 **Tip:** El signo de un polinomio de segundo grado con coeficientes positivos en $x^2$ es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \quad \text{y Decreciente en } (1, 2)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{x^3}{3} - \\frac{3x^2}{2} + 2x", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(1, 5/6)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Máximo" }, { "id": "min", "latex": "(2, 2/3)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Mínimo" }, { "id": "infl", "latex": "(1.5, 0.75)", "color": "#16a34a", "showLabel": true, "label": "P. Inflexión" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 4, "bottom": -1, "top": 3 } } }