Paralelismo entre rectas dependientes de parámetros

**Halle $a$ y $b$ para que las rectas $r: \frac{x}{2} = y = \frac{z}{2-a}$ y $s: \begin{cases} x - bz = 0 \\ 2x - y - z + 1 = 0 \end{cases}$ sean paralelas (2.5 puntos)** En primer lugar, identificamos el vector director de la recta $r$. La recta viene dada en su forma continua: $$\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$$ Comparando con la expresión de $r: \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2-a}$, obtenemos el vector director $\vec{v_r}$: $$\vec{v_r} = (2, 1, 2-a)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua, los denominadores corresponden a las componentes del vector director, siempre que los coeficientes de $x, y, z$ en el numerador sean iguales a $1$.

La recta $s$ está definida como la intersección de dos planos (forma implícita). Su vector director $\vec{v_s}$ se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos: Planos: - $\pi_1: x - bz = 0 \implies \vec{n_1} = (1, 0, -b)$ - $\pi_2: 2x - y - z + 1 = 0 \implies \vec{n_2} = (2, -1, -1)$ Calculamos $\vec{v_s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ mediante el determinante: $$\vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -b \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v_s} = \vec{i}(0 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-b)) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-b)) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0)$$ $$\vec{v_s} = \vec{i}(-b) - \vec{j}(-1 + 2b) + \vec{k}(-1)$$ $$\vec{v_s} = (-b, 1-2b, -1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales simultáneamente.

Para que las rectas $r$ y $s$ sean paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales: $$\vec{v_r} \parallel \vec{v_s} \iff \frac{v_{rx}}{v_{sx}} = \frac{v_{ry}}{v_{sy}} = \frac{v_{rz}}{v_{sz}}$$ Sustituimos las componentes calculadas: $$\frac{2}{-b} = \frac{1}{1-2b} = \frac{2-a}{-1}$$ Esto nos genera un sistema de ecuaciones para hallar $a$ y $b$.

Utilizamos la primera igualdad para calcular $b$: $$\frac{2}{-b} = \frac{1}{1-2b}$$ Multiplicamos en cruz: $$2(1 - 2b) = 1(-b)$$ $$2 - 4b = -b$$ $$2 = 3b \implies \mathbf{b = \frac{2}{3}}$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene empezar por la igualdad que contenga una sola incógnita para simplificar los cálculos.

Ahora utilizamos el valor de $b = 2/3$ en la segunda igualdad para hallar $a$: $$\frac{1}{1 - 2b} = \frac{2-a}{-1}$$ $$\frac{1}{1 - 2(2/3)} = a - 2$$ $$\frac{1}{1 - 4/3} = a - 2$$ $$\frac{1}{-1/3} = a - 2$$ $$-3 = a - 2 \implies \mathbf{a = -1}$$ Por tanto, los valores buscados son **$a = -1$** y **$b = 2/3$**. $$\boxed{a = -1, \quad b = \frac{2}{3}}$$

Para asegurar que las rectas son paralelas y no coincidentes, comprobamos si un punto de $r$ pertenece a $s$. Un punto de $r$ es $P_r(0, 0, 0)$. Sustituimos en las ecuaciones de $s$ con $b=2/3$: 1. $x - \frac{2}{3}z = 0 \implies 0 - 0 = 0$ (Se cumple). 2. $2x - y - z + 1 = 0 \implies 2(0) - 0 - 0 + 1 = 0 \implies 1 = 0$ (Falso). Como el punto de $r$ no pertenece a $s$, las rectas son **paralelas no coincidentes**.