Resolución de una ecuación matricial

**Resuelva, si es posible, la ecuación matricial $A X = B$ (2.5 puntos)** Para poder resolver la ecuación matricial $AX = B$, debemos despejar la matriz $X$. Si la matriz $A$ es invertible (es decir, si su determinante es distinto de cero), podemos multiplicar por la izquierda por su inversa $A^{-1}$: $$A^{-1} \cdot (A X) = A^{-1} \cdot B$$ $$(A^{-1} \cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot B$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B$$ Por tanto, el primer paso es comprobar si existe $A^{-1}$ calculando el determinante de $A$. 💡 **Tip:** Recuerda que en ecuaciones matriciales el orden importa. Como $A$ está a la izquierda de $X$, debemos multiplicar por $A^{-1}$ también por la izquierda en el otro miembro.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (2 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 1) + (-1 \cdot 0 \cdot 0) - [(-1 \cdot 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot 0) + (1 \cdot 0 \cdot 1)]$$ $$|A| = (2 + 2 + 0) - (-1 + 0 + 0) = 4 - (-1) = 5$$ Como $|A| = 5 \neq 0$, la matriz $A$ tiene inversa y la ecuación tiene una solución única. $$\boxed{|A| = 5}$$

La matriz inversa se calcula mediante la fórmula: $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$. Primero hallamos la matriz de los adjuntos $Adj(A)$ calculando los 9 menores cofactores: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2; \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1; \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4; \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2$ Obtenemos la matriz adjunta y su traspuesta: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 3 & -4 & 2 \end{pmatrix} \implies (Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente: $$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Multiplicamos la inversa de $A$ por la matriz $B$: $$X = A^{-1} \cdot B = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1\cdot 1 + (-1)\cdot 0 + 3\cdot 1) = 4; \quad (1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 3\cdot 2) = 6; \quad (1\cdot (-1) + (-1)\cdot 1 + 3\cdot 0) = -2$ - Fila 2: $(2\cdot 1 + 3\cdot 0 + (-4)\cdot 1) = -2; \quad (2\cdot 1 + 3\cdot 1 + (-4)\cdot 2) = -3; \quad (2\cdot (-1) + 3\cdot 1 + (-4)\cdot 0) = 1$ - Fila 3: $((-1)\cdot 1 + 1\cdot 0 + 2\cdot 1) = 1; \quad ((-1)\cdot 1 + 1\cdot 1 + 2\cdot 2) = 4; \quad ((-1)\cdot (-1) + 1\cdot 1 + 2\cdot 0) = 2$ Resultando: $$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & 6 & -2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$ Podemos expresar el resultado final con los elementos fraccionarios: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4/5 & 6/5 & -2/5 \\ -2/5 & -3/5 & 1/5 \\ 1/5 & 4/5 & 2/5 \end{pmatrix}}$$