Área encerrada entre una curva cúbica y una parábola

**a) Dibuje ese recinto. (0.75 puntos)** Para poder dibujar el recinto y conocer los límites de integración, primero buscamos los puntos de intersección entre la curva $f(x) = x^3$ y la parábola $g(x) = x^2 + 2x$. Igualamos ambas funciones: $$x^3 = x^2 + 2x$$ Llevamos todos los términos a un lado para resolver la ecuación polinómica: $$x^3 - x^2 - 2x = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - x - 2) = 0$$ Esto nos da una primera solución $x = 0$. Para el factor de segundo grado, aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los valores: $$x_1 = \frac{1-3}{2} = -1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = \frac{1+3}{2} = 2$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte son fundamentales, ya que dividen el eje $X$ en los intervalos donde una función está por encima de la otra. Los puntos de corte son **$(-1, -1)$**, **$(0, 0)$** y **$(2, 8)$**.

Para dibujar el recinto correctamente, debemos saber qué función queda por encima en cada intervalo: 1. **Intervalo $(-1, 0)$**: Tomamos un punto de prueba, por ejemplo $x = -0,5$. $f(-0,5) = (-0,5)^3 = -0,125$ $g(-0,5) = (-0,5)^2 + 2(-0,5) = 0,25 - 1 = -0,75$ Como $-0,125 \gt -0,75$, entonces **$f(x) \gt g(x)$**. 2. **Intervalo $(0, 2)$**: Tomamos un punto de prueba, por ejemplo $x = 1$. $f(1) = 1^3 = 1$ $g(1) = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$ Como $3 \gt 1$, entonces **$g(x) \gt f(x)$**. Con esta información y sabiendo que $x^3$ es una curva cúbica básica y $x^2+2x$ es una parábola con ramas hacia arriba, podemos trazar el recinto.

**b) Calcule su área. (1.75 puntos)** El área total del recinto es la suma de las áreas de las dos regiones encerradas. Usaremos la integral definida de la función superior menos la inferior en cada intervalo: $$A = \int_{-1}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx$$ Sustituyendo las funciones: $$A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) \, dx + \int_{0}^{2} (x^2 + 2x - x^3) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar obtienes un valor negativo, es probable que hayas intercambiado el orden de las funciones.

Calculamos la primera parte aplicando la regla de Barrow: $$I_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^{0}$$ Evaluamos en los límites: $$I_1 = \left( 0 \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 \right)$$ $$I_1 = - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 \right)$$ $$I_1 = - \left( \frac{3 + 4 - 12}{12} \right) = - \left( \frac{-5}{12} \right) = \frac{5}{12} \text{ u}^2$$ $$\boxed{I_1 = \frac{5}{12} \text{ u}^2}$$

Calculamos la segunda parte: $$I_2 = \int_{0}^{2} (-x^3 + x^2 + 2x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$I_2 = \left( -\frac{2^4}{4} + \frac{2^3}{3} + 2^2 \right) - (0)$$ $$I_2 = -\frac{16}{4} + \frac{8}{3} + 4 = -4 + \frac{8}{3} + 4 = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ $$\boxed{I_2 = \frac{8}{3} \text{ u}^2}$$

Sumamos ambos resultados para obtener el área total del recinto: $$A = I_1 + I_2 = \frac{5}{12} + \frac{8}{3}$$ Ponemos común denominador ($12$): $$A = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12} \approx 3,083 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{37}{12} \text{ u}^2}$$