Derivabilidad y extremos de una función a trozos

**a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en todos los números reales. (1 punto)** Para que la función sea derivable en $\mathbb{R}$, primero debe ser continua en todo su dominio. Las funciones que forman las ramas ($x^3-x^2$ y $ax+b$) son polinómicas y, por tanto, continuas y derivables en sus respectivos intervalos. El único punto de posible conflicto es el salto entre ramas en $x=1$. Para que $f$ sea continua en $x=1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $f(1) = 1^3 - 1^2 = 0$ 2. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^3 - x^2) = 0$ 3. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (ax + b) = a + b$ Igualamos los límites laterales para garantizar la continuidad: $$a + b = 0 \implies b = -a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable, la condición necesaria (aunque no suficiente) es que sea continua.

Calculamos la derivada de la función en las regiones donde no hay duda: $$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2x & \text{si } x < 1 \\ a & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x=1$, las derivadas laterales deben coincidir ($f'(1^-) = f'(1^+)$): - Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = 3(1)^2 - 2(1) = 1$ - Derivada por la derecha: $f'(1^+) = a$ Igualando ambas expresiones obtenemos: $$a = 1$$ Ahora, sustituimos el valor de $a$ en la ecuación de la continuidad ($b = -a$): $$b = -1$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{a = 1, \quad b = -1}$$

**b) Para esos valores de $a$ y $b$ halle los extremos de la función y dibuje su gráfica. (1.5 puntos)** Con $a=1$ y $b=-1$, la función y su derivada quedan definidas como: $$f(x) = \begin{cases} x^3 - x^2 & \text{si } x \le 1 \\ x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases} \qquad f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2x & \text{si } x \le 1 \\ 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Para hallar los extremos relativos, buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$: 1. En la primera rama ($x \le 1$): $$3x^2 - 2x = 0 \implies x(3x - 2) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{2}{3}$$ Ambos valores pertenecen al intervalo $x \le 1$. 2. En la segunda rama ($x > 1$): $$f'(x) = 1 \neq 0$$ No hay puntos críticos en esta rama. 💡 **Tip:** Los extremos de una función a trozos pueden estar donde la derivada es cero o en los puntos de unión de las ramas si la función no fuera derivable (aunque en este caso sí lo es).

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2/3) & 2/3 & (2/3, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + & 1 & + \\ \text{Función} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Crec} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los extremos: - Máximo en $x=0$: $f(0) = 0^3 - 0^2 = 0 \implies \mathbf{(0, 0)}$ - Mínimo en $x=2/3$: $f(2/3) = (2/3)^3 - (2/3)^2 = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} = \frac{8-12}{27} = -\frac{4}{27} \approx -0.148$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, 0) \text{ y Mínimo relativo en } \left(\frac{2}{3}, -\frac{4}{27}\right)}$$

Para dibujar la gráfica, tenemos en cuenta: 1. La rama izquierda ($x \le 1$) es una función cúbica que pasa por $(0,0)$, tiene un mínimo en $(2/3, -4/27)$ y termina en $(1,0)$. 2. La rama derecha ($x > 1$) es una semirrecta con pendiente $1$ que parte del punto $(1,0)$. Como la función es derivable en $x=1$, la transición entre la curva cúbica y la recta es suave.

Visualización de la función $f(x)$ con sus extremos señalados.