Posición relativa de dos rectas en el espacio

Para determinar la posición relativa de dos rectas $r$ y $s$, primero extraemos de sus ecuaciones continuas un punto y un vector director de cada una. Para la recta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{4}$: - Punto **$P_r = (2, -1, 2)$** - Vector director **$\vec{v_r} = (1, 3, 4)$** Para la recta $s: \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{-1}$: - Punto **$P_s = (1, -2, 3)$** - Vector director **$\vec{v_s} = (1, 1, -1)$** 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$. ¡Cuidado con los signos en los puntos!

Comprobamos si los vectores directores $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ son proporcionales (lo que indicaría que las rectas son paralelas o coincidentes): $$\frac{1}{1} \neq \frac{3}{1} \neq \frac{4}{-1}$$ Como los componentes no son proporcionales, los vectores **no tienen la misma dirección**. Por lo tanto, las rectas solo pueden ser **secantes** (se cortan en un punto) o **cruzadas** (están en planos distintos y no se cortan). $$\boxed{\vec{v_r} \nparallel \vec{v_s}}$$

Para distinguir entre rectas secantes y cruzadas, analizamos si son coplanarias. Para ello, formamos un tercer vector que una ambas rectas, por ejemplo $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1-2, -2-(-1), 3-2) = (-1, -1, 1)$$ Ahora calculamos el determinante de la matriz formada por $\{\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}\}$. Si el determinante es cero, los vectores son linealmente dependientes (coplanarios) y las rectas se cortan. $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por la regla de Sarrus: $$|M| = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (3 \cdot (-1) \cdot (-1)) + (4 \cdot 1 \cdot (-1)) - [(-1 \cdot 1 \cdot 4) + (-1 \cdot (-1) \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 3)]$$ $$|M| = (1 + 3 - 4) - (-4 + 1 + 3)$$ $$|M| = 0 - 0 = 0$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es 0, el rango de la matriz es 2. Como los vectores directores son independientes, las rectas están en el mismo plano.

Resumimos los hallazgos según el rango de las matrices: 1. Rango de $(\vec{v_r}, \vec{v_s}) = 2$ (Vectores directores linealmente independientes). 2. Rango de $(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}) = 2$ (Los tres vectores son coplanarios). Cuando los vectores directores no son paralelos pero el vector que une los puntos de las rectas está en el mismo plano que ellos, las rectas se cortan en un único punto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son secantes (se cortan en un punto)}}$$