Determinación de coeficientes de una función cúbica

**Calcule los números $a, b$ y $c$ para que la curva de ecuación $y = ax^3 + bx^2 + cx + 4$ pase por los puntos $(1,10), (-1,2)$ y $(2,26)$. Demuestre que la curva es única. Escriba dicha curva. (2.5 puntos)** Si la curva pasa por los puntos dados, estos deben satisfacer la ecuación $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 4$. Sustituimos cada punto $(x, y)$: 1. Para el punto $(1, 10)$: $$a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + 4 = 10 \implies a + b + c = 6$$ 2. Para el punto $(-1, 2)$: $$a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + 4 = 2 \implies -a + b - c + 4 = 2 \implies -a + b - c = -2$$ 3. Para el punto $(2, 26)$: $$a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + 4 = 26 \implies 8a + 4b + 2c + 4 = 26 \implies 8a + 4b + 2c = 22$$ Dividiendo entre 2 para simplificar: $4a + 2b + c = 11$. 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a la gráfica de una función, entonces $f(x_0) = y_0$.

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} a + b + c = 6 & (1) \\ -a + b - c = -2 & (2) \\ 4a + 2b + c = 11 & (3) \end{cases}$$ Sumamos la ecuación (1) y la (2) para eliminar $a$ y $c$: $$(a + b + c) + (-a + b - c) = 6 + (-2) \implies 2b = 4 \implies \mathbf{b = 2}$$ Sustituimos $b = 2$ en las ecuaciones (1) y (3): $$\begin{cases} a + 2 + c = 6 \implies a + c = 4 & (4) \\ 4a + 2(2) + c = 11 \implies 4a + c = 7 & (5) \end{cases}$$ Restamos la ecuación (4) a la (5): $$(4a + c) - (a + c) = 7 - 4 \implies 3a = 3 \implies \mathbf{a = 1}$$ Finalmente, calculamos $c$ sustituyendo en (4): $$1 + c = 4 \implies \mathbf{c = 3}$$ 💡 **Tip:** En sistemas con esta estructura, sumar ecuaciones suele ser el camino más rápido para eliminar variables opuestas.

Para demostrar que la curva es única, debemos comprobar que el sistema de ecuaciones planteado tiene una solución única. Analizamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = [1\cdot 1\cdot 1 + (-1)\cdot 2\cdot 1 + 1\cdot (-1)\cdot 4] - [1\cdot 1\cdot 4 + 1\cdot (-1)\cdot 1 + (-1)\cdot 2\cdot 1]$$ $$|A| = [1 - 2 - 4] - [4 - 1 - 2] = [-5] - [1] = -6$$ Como $|A| = -6 \neq 0$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado**. Esto garantiza que existe una única combinación de valores para $a, b$ y $c$. ✅ **Conclusión de unicidad:** $$\boxed{\text{Puesto que } |A| \neq 0, \text{ los coeficientes son únicos y la curva es única}}$$

Sustituimos los valores obtenidos $a=1, b=2, c=3$ en la expresión general $y = ax^3 + bx^2 + cx + 4$: $$y = 1x^3 + 2x^2 + 3x + 4$$ Podemos verificar rápidamente con los puntos: - $f(1) = 1+2+3+4 = 10$ (Correcto) - $f(-1) = -1+2-3+4 = 2$ (Correcto) - $f(2) = 8+8+6+4 = 26$ (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4}$$