Cálculo de primitiva y extremos relativos

**a) Calcule la función $f(x)$ sabiendo que su derivada es $f'(x) = (x-1) e^x$ y que $f(2) = e$.** Para obtener la función $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$, debemos calcular la integral indefinida: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (x-1)e^x \, dx$$ Esta es una integral que se resuelve por el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla útil para elegir $u$ es la regla ALPES (Aritméticas, Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno/Coseno).

Elegimos las partes de la siguiente forma: - $u = x-1 \implies du = dx$ - $dv = e^x dx \implies v = \int e^x dx = e^x$ Aplicando la fórmula: $$\int (x-1)e^x \, dx = (x-1)e^x - \int e^x \, dx$$ $$\int (x-1)e^x \, dx = (x-1)e^x - e^x + C$$ Podemos simplificar sacando factor común $e^x$: $$f(x) = (x-1-1)e^x + C = (x-2)e^x + C$$ $$\boxed{f(x) = (x-2)e^x + C}$$

Utilizamos el dato del enunciado $f(2) = e$ para hallar el valor de la constante $C$: $$f(2) = (2-2)e^2 + C = e$$ $$0 \cdot e^2 + C = e \implies C = e$$ Por tanto, la función buscada es: $$\boxed{f(x) = (x-2)e^x + e}$$ 💡 **Tip:** Cuando te dan un punto $f(a)=b$, te están pidiendo que selecciones la única primitiva de la familia que pasa por ese punto específico.

**b) Demuestre que $f(x)$ tiene un extremo relativo en un punto del eje de abscisas y razone si es máximo o mínimo.** Los extremos relativos de una función ocurren en los puntos donde su derivada es igual a cero (puntos críticos). $$f'(x) = 0 \implies (x-1)e^x = 0$$ Como la función exponencial $e^x$ nunca se anula ($e^x \gt 0$ para todo $x$), la única solución es: $$x-1 = 0 \implies x = 1$$ El punto crítico se encuentra en $x = 1$. Vamos a comprobar ahora si este punto pertenece al **eje de abscisas**, es decir, si su ordenada es $y=0$: $$f(1) = (1-2)e^1 + e = -1 \cdot e + e = -e + e = 0$$ Efectivamente, el punto $(1, 0)$ está en el eje de abscisas.

Para determinar si es un máximo o un mínimo, estudiamos el signo de la primera derivada $f'(x) = (x-1)e^x$ alrededor de $x=1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline x-1 & - & 0 & +\\ e^x & + & + & +\\\hline f'(x) & - & 0 & + \end{array}$$ - En el intervalo $(-\infty, 1)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En el intervalo $(1, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. Al pasar de decreciente a creciente en $x=1$, existe un **mínimo relativo**. 💡 **Tip:** También podrías usar la segunda derivada: $f''(x) = (x)e^x$. Como $f''(1) = 1 \cdot e^1 = e \gt 0$, se confirma que es un mínimo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Hay un mínimo relativo en el punto } (1,0), \text{ que pertenece al eje de abscisas.}}$$