Límite con parámetro mediante la regla de L'Hôpital

Para que el límite exista y sea finito, primero analizamos el comportamiento de la función cuando $x \to 0$. Evaluamos el límite del numerador y del denominador por separado: - Numerador: $\lim_{x \to 0} (3x - m \operatorname{sen} x) = 3(0) - m \operatorname{sen}(0) = 0$. - Denominador: $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$. Obtenemos una indeterminación del tipo $\left[ \frac{0}{0} \right]$. Esto nos permite aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital dice que si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces el límite es igual a $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último exista.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando respecto a $x$: $$\lim_{x \to 0} \frac{3x - m \operatorname{sen} x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(3x - m \operatorname{sen} x)}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{3 - m \cos x}{2x}$$ Analizamos de nuevo el comportamiento cuando $x \to 0$: - El denominador tiende a $0$ ($2 \cdot 0 = 0$). - El numerador tiende a $3 - m \cos(0) = 3 - m$. Para que el límite sea un valor **finito**, es necesario que el numerador también tienda a $0$. Si el numerador tendiera a un número distinto de cero, el límite sería $\infty$ o $-\infty$ (no finito). Por tanto, imponemos la condición: $$3 - m = 0 \implies \mathbf{m = 3}$$ $$\boxed{m = 3}$$

Sustituimos el valor hallado $m = 3$ en el límite resultante del paso anterior: $$\lim_{x \to 0} \frac{3 - 3 \cos x}{2x}$$ Como al sustituir $x=0$ volvemos a obtener la indeterminación $\left[ \frac{0}{0} \right]$, aplicamos de nuevo la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0} \frac{3 - 3 \cos x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(3 - 3 \cos x)}{\frac{d}{dx}(2x)}$$ Calculamos las derivadas: - Derivada del numerador: $(3 - 3 \cos x)' = 0 - 3(-\operatorname{sen} x) = 3 \operatorname{sen} x$. - Derivada del denominador: $(2x)' = 2$. Por lo tanto: $$\lim_{x \to 0} \frac{3 \operatorname{sen} x}{2} = \frac{3 \operatorname{sen}(0)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\cos x$ es $-\operatorname{sen} x$ y la de $\operatorname{sen} x$ es $\cos x$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{m = 3, \quad \text{Límite} = 0}$$