Ecuación del plano paralelo a dos rectas

Para hallar la ecuación de un plano $\pi$ que sea paralelo a dos rectas, necesitamos conocer su punto $P$ y sus dos vectores directores, que coincidirán con los vectores directores de las rectas dadas. La recta $r$ viene dada en su forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = -t \\ y = 3t \\ z = t \end{cases}$$ Los coeficientes del parámetro $t$ nos dan directamente las coordenadas del vector director $\vec{v}_r$: $$\vec{v}_r = (-1, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** En una recta expresada en forma paramétrica $\{x=a+v_1 t, y=b+v_2 t, z=c+v_3 t\}$, el vector director es $(v_1, v_2, v_3)$.

La recta $s$ está definida como la intersección de dos planos (forma implícita): $$s: \begin{cases} 2x - 2y = 4 \\ y - z = -3 \end{cases}$$ El vector director $\vec{v}_s$ se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales de ambos planos, $\vec{n}_1 = (2, -2, 0)$ y $\vec{n}_2 = (0, 1, -1)$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_s = [(-2) \cdot (-1)]\mathbf{i} + [0 \cdot 0]\mathbf{j} + [2 \cdot 1]\mathbf{k} - [0 \cdot (-2)]\mathbf{k} - [1 \cdot 0]\mathbf{i} - [(-1) \cdot 2]\mathbf{j}$$ $$\vec{v}_s = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \implies (2, 2, 2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: $$\vec{v}_s = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

Puesto que el plano $\pi$ es paralelo a las rectas $r$ y $s$, su vector normal $\vec{n}_\pi$ será perpendicular a los vectores directores de ambas rectas. Por tanto, calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = (3 \cdot 1)\mathbf{i} + (1 \cdot 1)\mathbf{j} + ((-1) \cdot 1)\mathbf{k} - (1 \cdot 3)\mathbf{k} - (1 \cdot 1)\mathbf{i} - (1 \cdot (-1))\mathbf{j}$$ $$\vec{n}_\pi = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k} - 3\mathbf{k} - \mathbf{i} + \mathbf{j}$$ $$\vec{n}_\pi = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 4\mathbf{k}$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre $2$: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define la orientación del plano en su ecuación general $Ax + By + Cz + D = 0$.

Con el vector normal $\vec{n}_\pi = (1, 1, -2)$ y el punto $P(1, 1, 2)$, planteamos la ecuación general del plano: $$1(x - 1) + 1(y - 1) - 2(z - 2) = 0$$ Desarrollamos la expresión: $$x - 1 + y - 1 - 2z + 4 = 0$$ $$x + y - 2z + 2 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x + y - 2z + 2 = 0}$$