Rango de una matriz con parámetros y sistemas homogéneos

**a) Estudie su rango según los valores del número real $a$. (1.25 puntos)** Para estudiar el rango de la matriz $A$, que es de dimensión $3 \times 3$, calculamos primero su determinante. El rango será 3 si el determinante es distinto de cero. Calculamos $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -a \\ 1 & -2 & a \end{vmatrix}$$ $$|A| = [a \cdot (-1) \cdot a + 2 \cdot (-a) \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-2)] - [1 \cdot (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot (-a) \cdot a + a \cdot 0 \cdot 2]$$ $$|A| = [-a^2 - 2a + 0] - [-1 + 2a^2 + 0]$$ $$|A| = -a^2 - 2a + 1 - 2a^2 = -3a^2 - 2a + 1$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ nos indica si el rango es máximo. Si $|A| \neq 0$, entonces $\text{rango}(A) = 3$.

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $a$: $$-3a^2 - 2a + 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(-3)(1)}}{2(-3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-6} = \frac{2 \pm 4}{-6}$$ Las soluciones son: - $a_1 = \frac{6}{-6} = -1$ - $a_2 = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$ **Discusión del rango:** 1. **Si $a \neq -1$ y $a \neq 1/3$**: El determinante $|A| \neq 0$, por lo tanto, las tres filas son linealmente independientes. $$\mathbf{\text{rango}(A) = 3}$$ 2. **Si $a = -1$ o $a = 1/3$**: El determinante $|A| = 0$, por lo que el $\text{rango}(A) < 3$. Veamos si existe algún menor de orden 2 distinto de cero. Tomamos, por ejemplo, el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$\begin{vmatrix} a & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -a$$ - Si $a = -1$, el menor es $1 \neq 0$. - Si $a = 1/3$, el menor es $-1/3 \neq 0$. En ambos casos, existe un menor de orden 2 no nulo. ✅ **Resultado (estudio del rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq -1, \frac{1}{3} \implies \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } a = -1 \text{ o } a = \frac{1}{3} \implies \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) Resuelva el sistema homogéneo cuya matriz es $A$ en el caso $a = -1$. (1.25 puntos)** Un sistema homogéneo es de la forma $A \cdot X = 0$. En el caso $a = -1$, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$ El sistema de ecuaciones asociado es: $$\begin{cases} -x + 2y + z = 0 \\ -y + z = 0 \\ x - 2y - z = 0 \end{cases}$$ Como hemos visto en el apartado anterior, para $a = -1$, el $\text{rango}(A) = 2$. Dado que el número de incógnitas es $n=3$ y $\text{rango}(A) < n$, el **Teorema de Rouché-Frobenius** nos indica que es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**, es decir, tiene infinitas soluciones. 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible. Si el determinante de la matriz es 0, tiene infinitas soluciones además de la trivial $(0,0,0)$.

Para resolverlo, utilizamos las dos ecuaciones linealmente independientes (las que formaban el menor de orden 2 no nulo): 1) $-x + 2y + z = 0$ 2) $-y + z = 0$ De la ecuación (2), despejamos $y$ en función de $z$: $$y = z$$ Sustituimos $y = z$ en la ecuación (1): $$-x + 2z + z = 0 \implies -x + 3z = 0 \implies x = 3z$$ Para expresar la solución general, tomamos $z$ como un parámetro real $\lambda$: $$z = \lambda$$ $$y = \lambda$$ $$x = 3\lambda$$ ✅ **Resultado (solución del sistema):** $$\boxed{(x, y, z) = (3\lambda, \lambda, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$