Perpendicular común y distancia entre dos rectas

**(a) [1’75 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$: $\frac{x + 7}{2} = \frac{y - 7}{-1} = \frac{z}{1}$ - Punto $P_r(-7, 7, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r(2, -1, 1)$ Para la recta $s$: $\begin{cases} x = 2 \\ y = -5 \\ z = \lambda \end{cases}$ - Punto $P_s(2, -5, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s(0, 0, 1)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua de la recta, los denominadores son las componentes del vector director y los números que restan a las variables en el numerador son las coordenadas del punto.

La recta que corta perpendicularmente a ambas tendrá un vector director $\vec{v}_t$ que es perpendicular a $\vec{v}_r$ y a $\vec{v}_s$. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_t = \vec{i}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 0 - 0 \cdot (-1))$$ $$\vec{v}_t = -1\vec{i} - 2\vec{j} + 0\vec{k} = (-1, -2, 0)$$ Para facilitar los cálculos, podemos tomar como vector director de la recta buscada: **$\vec{v}_t = (1, 2, 0)$**. 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector perpendicular a ambos simultáneamente.

Sea $R$ un punto genérico de $r$ y $S$ un punto genérico de $s$: - $R(-7 + 2\mu, 7 - \mu, \mu)$ - $S(2, -5, \lambda)$ El vector $\vec{RS}$ que une ambos puntos debe ser paralelo al vector $\vec{v}_t(1, 2, 0)$. Esto implica que $\vec{RS}$ debe ser perpendicular a $\vec{v}_r$ y a $\vec{v}_s$: $$\vec{RS} = (2 - (-7 + 2\mu), -5 - (7 - \mu), \lambda - \mu) = (9 - 2\mu, -12 + \mu, \lambda - \mu)$$ Planteamos el sistema de ecuaciones con el producto escalar: 1. $\vec{RS} \cdot \vec{v}_r = 0 \implies 2(9 - 2\mu) - 1(-12 + \mu) + 1(\lambda - \mu) = 0$ $18 - 4\mu + 12 - \mu + \lambda - \mu = 0 \implies -6\mu + \lambda + 30 = 0$ 2. $\vec{RS} \cdot \vec{v}_s = 0 \implies 0(9 - 2\mu) + 0(-12 + \mu) + 1(\lambda - \mu) = 0$ $\lambda - \mu = 0 \implies \lambda = \mu$ Sustituyendo $\lambda = \mu$ en la primera ecuación: $-6\mu + \mu + 30 = 0 \implies -5\mu = -30 \implies \mu = 6$ Como $\lambda = \mu$, entonces **$\lambda = 6$**. Calculamos los puntos de corte: - **$R(5, 1, 6)$** (sustituyendo $\mu = 6$ en $R$) - **$S(2, -5, 6)$** (sustituyendo $\lambda = 6$ en $S$)

La recta buscada $t$ pasa por los puntos $R(5, 1, 6)$ y $S(2, -5, 6)$. Ya sabemos que su vector director es $\vec{v}_t = (1, 2, 0)$. Usando el punto $S(2, -5, 6)$, su ecuación paramétrica es: $$t: \begin{cases} x = 2 + k \\ y = -5 + 2k \\ z = 6 \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t: \begin{cases} x = 2 + k \\ y = -5 + 2k \\ z = 6 \end{cases}}$$

**(b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre $r$ y $s$.** La distancia entre las rectas $r$ y $s$ es la distancia entre los dos puntos de corte $R$ y $S$ de la perpendicular común calculados en el apartado anterior. $R(5, 1, 6)$ y $S(2, -5, 6)$. $$d(r, s) = d(R, S) = |\vec{RS}| = \sqrt{(2 - 5)^2 + (-5 - 1)^2 + (6 - 6)^2}$$ $$d(r, s) = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 36 + 0} = \sqrt{45}$$ Simplificando el radical: $$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = 3\sqrt{5} \text{ unidades}}$$