Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**(a) [1 punto] Demuestra que $A^2 + 2A = I$ y que $A^{-1} = A + 2I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2.** En primer lugar, calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$A^2 = \begin{pmatrix} (-1)(-1) + (1)(2) & (-1)(1) + (1)(-1) \\ (2)(-1) + (-1)(2) & (2)(1) + (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2 & -1 - 1 \\ -2 - 2 & 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo en general, aunque para potencias de la misma matriz ($A \cdot A$) siempre lo es.

Ahora calculamos la expresión $A^2 + 2A$ y verificamos si obtenemos la matriz identidad $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$: $$A^2 + 2A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ $$A^2 + 2A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$$ Sumamos elemento a elemento: $$A^2 + 2A = \begin{pmatrix} 3 - 2 & -2 + 2 \\ -4 + 4 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 + 2A = I}$$

Para demostrar que $A^{-1} = A + 2I$, partimos de la igualdad que acabamos de demostrar: $A^2 + 2A = I$. Podemos sacar factor común la matriz $A$ por la izquierda: $$A(A + 2I) = I$$ O bien por la derecha: $$(A + 2I)A = I$$ Por la definición de matriz inversa, si existe una matriz $B$ tal que $AB = BA = I$, entonces $B = A^{-1}$. En este caso, la matriz $B$ es $(A + 2I)$. Por lo tanto, queda demostrado que: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = A + 2I}$$ 💡 **Tip:** Este método es mucho más rápido y elegante que calcular la inversa mediante determinantes o el método de Gauss-Jordan, ya que aprovecha una propiedad polinómica de la matriz.

**(b) [1’5 puntos] Calcula la matriz $X$ que verifica la ecuación $A^2 + XA + 5A = 4I$.** Para despejar $X$, primero intentamos simplificar la ecuación. Sabemos por el apartado (a) que $A^2 = I - 2A$. Sustituimos este valor en la ecuación: $$(I - 2A) + XA + 5A = 4I$$ Agrupamos los términos con $A$ y los términos con $I$: $$XA + 3A + I = 4I$$ $$XA + 3A = 3I$$ Restamos $3A$ en ambos lados: $$XA = 3I - 3A$$ $$XA = 3(I - A)$$ 💡 **Tip:** Al despejar, trata siempre de reducir el número de operaciones con matrices utilizando las propiedades de la identidad y el factor común.

Para dejar sola a la $X$, debemos eliminar la matriz $A$ que la multiplica por la derecha. Para ello, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por **$A^{-1}$ por la derecha**: $$(XA)A^{-1} = 3(I - A)A^{-1}$$ Como $AA^{-1} = I$, tenemos: $$X = 3(IA^{-1} - AA^{-1})$$ $$X = 3(A^{-1} - I)$$ Sustituimos la expresión de $A^{-1}$ que hallamos en el apartado anterior ($A^{-1} = A + 2I$): $$X = 3(A + 2I - I)$$ $$X = 3(A + I)$$

Calculamos la suma $A + I$ y multiplicamos por el escalar $3$: $$A + I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente: $$X = 3 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}}$$