Tangentes a una parábola y cálculo de área

**(a) [0’5 puntos] Prueba que las rectas $y = -x + 1$ e $y = 3x - 1$ son tangentes a su gráfica.** Para que una recta $y = mx + n$ sea tangente a la gráfica de $f(x)$ en un punto $x = a$, deben cumplirse dos condiciones: 1. La pendiente de la recta debe coincidir con la derivada en ese punto: $f'(a) = m$. 2. La función y la recta deben pasar por el mismo punto: $f(a) = y(a)$. Calculamos la derivada de $f(x) = -2x^2 + 3x - 1$: $$f'(x) = -4x + 3$$ Analizamos la primera recta $y = -x + 1$. Su pendiente es $m = -1$. Igualamos la derivada a la pendiente: $$-4x + 3 = -1 \implies -4x = -4 \implies x = 1$$ Comprobamos si en $x = 1$ coinciden los valores de la función y la recta: - Para la función: $f(1) = -2(1)^2 + 3(1) - 1 = -2 + 3 - 1 = 0$ - Para la recta: $y(1) = -1 + 1 = 0$ Como ambos valores coinciden, la recta **$y = -x + 1$ es tangente** a la gráfica en el punto $(1, 0)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en dicho punto.

Analizamos ahora la segunda recta $y = 3x - 1$. Su pendiente es $m = 3$. Igualamos la derivada a la pendiente: $$-4x + 3 = 3 \implies -4x = 0 \implies x = 0$$ Comprobamos si en $x = 0$ coinciden los valores de la función y la recta: - Para la función: $f(0) = -2(0)^2 + 3(0) - 1 = -1$ - Para la recta: $y(0) = 3(0) - 1 = -1$ Como ambos valores coinciden, la recta **$y = 3x - 1$ es tangente** a la gráfica en el punto $(0, -1)$. ✅ **Conclusión apartado a):** Ambas rectas son tangentes a la gráfica de $f$ en $x=1$ y $x=0$ respectivamente.

**(b) [2 puntos] Halla el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y las rectas mencionadas en el apartado anterior.** Primero, hallamos el punto donde se cortan las dos rectas tangentes igualando sus ecuaciones: $$-x + 1 = 3x - 1 \implies 2 = 4x \implies x = 0.5$$ El recinto está limitado por arriba por las rectas y por abajo por la parábola. Al cortarse las rectas en $x=0.5$, debemos dividir la integral en dos partes: 1. De $x = 0$ a $x = 0.5$, la frontera superior es la recta $y = 3x - 1$. 2. De $x = 0.5$ a $x = 1$, la frontera superior es la recta $y = -x + 1$. La función $f(x) = -2x^2 + 3x - 1$ es la frontera inferior en ambos intervalos. 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $g(x)$ y $h(x)$ en un intervalo $[a,b]$ es $\int_{a}^{b} |g(x) - h(x)| dx$.

Calculamos el área de la primera región ($A_1$): $$A_1 = \int_{0}^{0.5} [(3x - 1) - (-2x^2 + 3x - 1)] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$3x - 1 + 2x^2 - 3x + 1 = 2x^2$$ Calculamos la integral: $$A_1 = \int_{0}^{0.5} 2x^2 \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{0.5}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A_1 = \frac{2(0.5)^3}{3} - 0 = \frac{2 \cdot 0.125}{3} = \frac{0.25}{3} = \frac{1}{12} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** En integrales definidas, sustituye siempre el límite superior primero y resta el valor en el límite inferior (Regla de Barrow).

Calculamos el área de la segunda región ($A_2$): $$A_2 = \int_{0.5}^{1} [(-x + 1) - (-2x^2 + 3x - 1)] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$-x + 1 + 2x^2 - 3x + 1 = 2x^2 - 4x + 2$$ Calculamos la integral: $$A_2 = \int_{0.5}^{1} (2x^2 - 4x + 2) \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 2x \right]_{0.5}^{1}$$ Aplicamos la regla de Barrow: - En $x=1$: $\frac{2(1)^3}{3} - 2(1)^2 + 2(1) = \frac{2}{3} - 2 + 2 = \frac{2}{3}$ - En $x=0.5$: $\frac{2(0.5)^3}{3} - 2(0.5)^2 + 2(0.5) = \frac{0.25}{3} - 0.5 + 1 = \frac{1}{12} + 0.5 = \frac{1}{12} + \frac{6}{12} = \frac{7}{12}$ $$A_2 = \frac{2}{3} - \frac{7}{12} = \frac{8}{12} - \frac{7}{12} = \frac{1}{12} \text{ u}^2$$

El área total del recinto es la suma de las dos áreas calculadas: $$Area = A_1 + A_2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \text{ u}^2$$ Por simetría de la configuración respecto al punto de intersección $x=0.5$ (ya que la parábola es simétrica respecto a su eje en $x=0.75$ pero aquí las tangentes están en $0$ y $1$), los resultados parciales han resultado iguales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área } = \frac{1}{6} \text{ u}^2}$$