Optimización de ingresos según la edad

Para resolver el problema, primero definimos la función de ingresos $f(x)$ de forma analítica según los intervalos de edad proporcionados en el enunciado: $$f(x)=\begin{cases} -x^2 + 70x & \text{si } 18 \le x \lt 50 \\ \dfrac{400x}{x - 30} & \text{si } x \ge 50 \end{cases}$$ Nuestro objetivo es encontrar el valor máximo de esta función en su dominio $[18, +\infty)$ y el valor de $x$ (edad) donde ocurre. 💡 **Tip:** Aunque el enunciado dice "de 18 a 50" y luego "iguales o superiores a 50", lo habitual es comprobar la continuidad en el punto de cambio para asegurar que la función está bien definida.

Analizamos qué ocurre exactamente a los 50 años para comprobar si la función es continua: 1. **Límite por la izquierda ($x \to 50^-$):** $$\lim_{x \to 50^-} (-x^2 + 70x) = -(50)^2 + 70(50) = -2500 + 3500 = 1000$$ 2. **Límite por la derecha y valor en el punto ($x \ge 50$):** $$f(50) = \frac{400(50)}{50 - 30} = \frac{20000}{20} = 1000$$ Como ambos valores coinciden, la función es continua en $x = 50$. No hay saltos entre las ramas de la función.

Para el tramo $f_1(x) = -x^2 + 70x$, calculamos su derivada para hallar posibles extremos relativos: $$f_1'(x) = -2x + 70$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$-2x + 70 = 0 \implies 2x = 70 \implies x = 35$$ Como $x = 35$ pertenece al intervalo $[18, 50)$, calculamos el ingreso en esa edad: $$f(35) = -(35)^2 + 70(35) = -1225 + 2450 = 1225 \text{ €}$$ Analizamos el signo de la derivada en este tramo: - Si $18 \le x \lt 35$, $f'(x) \gt 0$ (la función crece). - Si $35 \lt x \lt 50$, $f'(x) \lt 0$ (la función decrece). Por tanto, en $x = 35$ hay un **máximo relativo** de $1225$ €.

Para el tramo $f_2(x) = \frac{400x}{x - 30}$, derivamos usando la regla del cociente: $$f_2'(x) = \frac{400(x - 30) - 400x(1)}{(x - 30)^2} = \frac{400x - 12000 - 400x}{(x - 30)^2} = \frac{-12000}{(x - 30)^2}$$ Observamos que el numerador es siempre negativo ($-12000$) y el denominador es siempre positivo para $x \ge 50$. Por tanto: $$f_2'(x) \lt 0 \quad \text{para todo } x \ge 50$$ Esto significa que la función es **estrictamente decreciente** a partir de los 50 años. Dado que empieza en $f(50) = 1000$ y decrece hacia su asíntota horizontal ($y = 400$), no puede haber ningún valor superior a $1000$ en este tramo. 💡 **Tip:** Si una función es continua y decreciente en un intervalo cerrado por la izquierda, su valor máximo en ese intervalo será el del extremo izquierdo.

Resumimos la monotonía de la función mediante una tabla de signos de $f'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc|c} x & 18 & (18, 35) & 35 & (35, 50) & 50 & (50, +\infty) \\\hline f'(x) & & + & 0 & - & & - \\ f(x) & 936 & \nearrow & 1225 & \searrow & 1000 & \searrow & \searrow \end{array}$$ Comparando los valores: - En $x = 35$: $1225$ €. - En $x = 50$: $1000$ €. - Cuando $x \to +\infty$: los ingresos tienden a $400$ €. El valor más alto alcanzado es **1225 euros**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El ingreso máximo es de 1225 € y se alcanza a los 35 años}}$$