Geometría en el espacio: Posiciones relativas y planos

**(a) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a $r$.** Primero, expresamos la recta $r$ en una forma más clara para identificar un punto $P_r$ y su vector director $\vec{v}_r$. La ecuación es: $$\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{-1}$$ De aquí obtenemos: - Un punto de la recta: $P_r(1, -1, 3)$. - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (3, 2, -1)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_1, u_2, u_3)$. ¡Cuidado con el signo del término $-z+3$!

El plano $\pi_1$ que buscamos debe pasar por el origen $O(0, 0, 0)$ y contener a la recta $r$. Por tanto: 1. Contiene al vector director de la recta: $\vec{u} = \vec{v}_r = (3, 2, -1)$. 2. Contiene al vector que une el origen con cualquier punto de la recta, por ejemplo $P_r$: $$\vec{v} = \vec{OP_r} = (1 - 0, -1 - 0, 3 - 0) = (1, -1, 3).$$ Como punto del plano, utilizaremos el origen $O(0, 0, 0)$ por simplicidad.

La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$, el punto $O(0, 0, 0)$ y los vectores directores: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 0 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos desarrollando por la primera fila: $$x \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - y \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los adjuntos: $$x(6 - 1) - y(9 - (-1)) + z(-3 - 2) = 0$$ $$5x - 10y - 5z = 0$$ Simplificamos dividiendo entre 5: $$x - 2y - z = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - 2y - z = 0}$$

**(b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$.** Obtenemos un punto $P_s$ y el vector director $\vec{v}_s$ de la recta $s$ dada por: $$s: \begin{cases} x = 1 \\ 2y - z = -2 \end{cases}$$ - Para el punto $P_s$: Si hacemos $y = 0$, entonces $x = 1$ y $z = 2$. Así, $P_s(1, 0, 2)$. - Para el vector director $\vec{v}_s$: Resolvemos el sistema homogéneo asociado o hacemos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(2) = (0, 1, 2).$$ 💡 **Tip:** También puedes parametrizar la recta haciendo $y = \lambda$. Entonces $x=1$, $y=\lambda$, $z=2+2\lambda$. El vector es el coeficiente de $\lambda$.

El plano $\pi_2$ debe contener a $s$ y ser paralelo a $r$. Sus direcciones serán: 1. El vector director de $s$: $\vec{v}_s = (0, 1, 2)$. 2. El vector director de $r$ (por paralelismo): $\vec{v}_r = (3, 2, -1)$. Utilizaremos el punto $P_s(1, 0, 2)$ para construir la ecuación.

Planteamos el determinante con el punto $P_s$ y los vectores $\vec{v}_s$ y $\vec{v}_r$: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(x - 1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} + (z - 2) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 1)(-1 - 4) - y(0 - 6) + (z - 2)(0 - 3) = 0$$ $$-5(x - 1) + 6y - 3(z - 2) = 0$$ $$-5x + 5 + 6y - 3z + 6 = 0$$ $$-5x + 6y - 3z + 11 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para dejar el término de $x$ positivo: $$5x - 6y + 3z - 11 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{5x - 6y + 3z - 11 = 0}$$