Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro $a$.** En primer lugar, escribimos las matrices asociadas al sistema: la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$). $$A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 4 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & a \\ -3 & -3 & 3 & -3 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando los rangos de ambas matrices en función del parámetro $a$.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \\ -3 & -3 & 3 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (2 \cdot 0 \cdot 3) + (-2 \cdot 1 \cdot (-3)) + (4 \cdot 2 \cdot (-3)) - [4 \cdot 0 \cdot (-3) + (-2) \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \cdot (-3)]$$ $$|A| = (0 + 6 - 24) - (0 - 12 - 6)$$ $$|A| = -18 - (-18) = 0$$ Como el determinante es cero, sabemos que el rango de $A$ es menor que 3 ($rg(A) \lt 3$). 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es cero, las filas (o columnas) son linealmente dependientes.

Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero dentro de $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (2 \cdot 0) - (-2 \cdot 2) = 0 + 4 = 4 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo, concluimos que: $$\boxed{rg(A) = 2}$$ Esto es independiente del valor de $a$.

Para determinar el rango de $A^*$, estudiamos el determinante de una submatriz de orden 3 que contenga a la columna de los términos independientes (columna 4) y dos columnas linealmente independientes de $A$ (por ejemplo, la 2 y la 3): $$|M| = \begin{vmatrix} -2 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & a \\ -3 & 3 & -3 \end{vmatrix}$$ $$|M| = [(-2) \cdot 1 \cdot (-3)] + [4 \cdot a \cdot (-3)] + [4 \cdot 0 \cdot 3] - [4 \cdot 1 \cdot (-3) + (-2) \cdot a \cdot 3 + 4 \cdot 0 \cdot (-3)]$$ $$|M| = (6 - 12a + 0) - (-12 - 6a + 0)$$ $$|M| = 6 - 12a + 12 + 6a = 18 - 6a$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$18 - 6a = 0 \implies 6a = 18 \implies a = 3$$ 💡 **Tip:** Si este determinante fuera distinto de cero, el rango de la matriz ampliada sería 3.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius**: * **Caso 1: $a \neq 3$** En este caso, $|M| \neq 0$, por lo que $rg(A^*) = 3$. Como $rg(A) = 2$, se cumple que $rg(A) \neq rg(A^*)$. El sistema es **Sistema Incompatible (SI)** (no tiene solución). * **Caso 2: $a = 3$** En este caso, todas las submatrices de orden 3 de $A^*$ tienen determinante cero, por lo que $rg(A^*) = 2$. Como $rg(A) = 2$ y el número de incógnitas es $n=3$, se cumple $rg(A) = rg(A^*) \lt n$. El sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 3, & \text{Sistema Incompatible} \\ \text{Si } a = 3, & \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**(b) [0’75 puntos] Resuélvelo cuando sea posible.** El sistema es posible solo si **$a = 3$**. El sistema original es: $$\begin{cases} 2x - 2y + 4z = 4 \\ 2x + z = 3 \\ -3x - 3y + 3z = -3 \end{cases}$$ Como $rg(A) = 2$, podemos eliminar una ecuación (la tercera, por ser combinación lineal de las otras) y quedarnos con las dos que formaban el menor de orden 2 no nulo: $$\begin{cases} 2x - 2y + 4z = 4 \\ 2x + z = 3 \end{cases}$$ Simplificamos la primera ecuación dividiendo por 2: $$\begin{cases} x - y + 2z = 2 \\ 2x + z = 3 \end{cases}$$ Tomamos $x$ como parámetro, $x = \lambda$: De la segunda ecuación: $z = 3 - 2\lambda$. Sustituimos en la primera: $\lambda - y + 2(3 - 2\lambda) = 2$ $\lambda - y + 6 - 4\lambda = 2 \implies -y - 3\lambda = -4 \implies y = 4 - 3\lambda$. 💡 **Tip:** Al ser un SCI con $rg=2$ y 3 incógnitas, las soluciones dependen de 1 parámetro ($3-2=1$). ✅ **Resultado (Solución para $a=3$):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = 4 - 3\lambda \\ z = 3 - 2\lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$