Cálculo de parámetro en área entre parábola y rectas

**Calcula un número positivo $a$, menor que 2, para que el recinto limitado por la parábola de ecuación $y = \frac{1}{2}x^2$ y las dos rectas horizontales de ecuaciones $y = a$ e $y = 2$, tenga un área de $\frac{14}{3}$ unidades cuadradas.** El recinto está delimitado superiormente por la recta $y=2$, inferiormente por la recta $y=a$ y lateralmente por la parábola $y=\frac{1}{2}x^2$. Como la parábola es simétrica respecto al eje $Y$ ($x=0$), calcularemos el área en el primer cuadrante y la multiplicaremos por 2. Buscamos los puntos de corte de la parábola con las rectas para determinar los límites de integración en $x$: 1. Con la recta $y=2$: $$\frac{1}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \quad (\text{tomamos el valor positivo})$$ 2. Con la recta $y=a$: $$\frac{1}{2}x^2 = a \implies x^2 = 2a \implies x = \sqrt{2a}$$ Como el enunciado indica que $0 < a < 2$, sabemos que $0 < \sqrt{2a} < 2$.

El área del recinto puede entenderse como la diferencia entre dos áreas encerradas por la parábola y las rectas horizontales: - **Área $A_1$**: Región entre la parábola y la recta $y=2$ (desde $x=-2$ hasta $x=2$). - **Área $A_2$**: Región entre la parábola y la recta $y=a$ (desde $x=-\sqrt{2a}$ hasta $x=\sqrt{2a}$). El área total buscada es $A = A_1 - A_2$. Usando la simetría: $$A = 2 \left[ \int_{0}^{2} \left( 2 - \frac{1}{2}x^2 \right) dx - \int_{0}^{\sqrt{2a}} \left( a - \frac{1}{2}x^2 \right) dx \right]$$ 💡 **Tip:** El área entre una recta superior $y=f(x)$ y una inferior $y=g(x)$ es $\int [f(x) - g(x)] dx$.

Calculamos cada parte aplicando la Regla de Barrow: 1. Primera parte ($A_1$): $$2 \int_{0}^{2} \left( 2 - \frac{1}{2}x^2 \right) dx = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{6} \right]_0^2 = 2 \left( 4 - \frac{8}{6} \right) = 2 \left( 4 - \frac{4}{3} \right) = 2 \left( \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3}$$ 2. Segunda parte ($A_2$): $$2 \int_{0}^{\sqrt{2a}} \left( a - \frac{1}{2}x^2 \right) dx = 2 \left[ ax - \frac{x^3}{6} \right]_0^{\sqrt{2a}} = 2 \left( a\sqrt{2a} - \frac{(\sqrt{2a})^3}{6} \right)$$ Como $(\sqrt{2a})^3 = 2a\sqrt{2a}$: $$2 \left( a\sqrt{2a} - \frac{2a\sqrt{2a}}{6} \right) = 2 \left( a\sqrt{2a} - \frac{a\sqrt{2a}}{3} \right) = 2 \left( \frac{2}{3}a\sqrt{2a} \right) = \frac{4}{3}a\sqrt{2a}$$ Por lo tanto, el área total en función de $a$ es: $$A(a) = \frac{16}{3} - \frac{4}{3}a\sqrt{2a}$$

Igualamos el área obtenida al valor proporcionado en el enunciado, $\frac{14}{3}$: $$\frac{16}{3} - \frac{4}{3}a\sqrt{2a} = \frac{14}{3}$$ Multiplicamos toda la ecuación por 3 para simplificar denominadores: $$16 - 4a\sqrt{2a} = 14$$ $$-4a\sqrt{2a} = 14 - 16 \implies -4a\sqrt{2a} = -2$$ $$a\sqrt{2a} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Para resolver esta ecuación, elevamos ambos miembros al cuadrado: $$(a\sqrt{2a})^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2$$ $$a^2(2a) = \frac{1}{4} \implies 2a^3 = \frac{1}{4}$$ $$a^3 = \frac{1}{8} \implies a = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$$ El valor obtenido $a = 0.5$ es positivo y menor que 2, por lo que cumple las condiciones del problema. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{1}{2}}$$