Optimización del área de un cercado rectangular

Definimos las variables del problema basándonos en la geometría del cercado: - Sea $x$ la longitud del lado paralelo a la carretera (en metros). - Sea $y$ la longitud del lado perpendicular a la carretera (en metros). El enunciado nos indica los costes por metro: - El lado junto a la carretera ($x$) cuesta $100$ €/m. - El lado opuesto a la carretera (también de longitud $x$) cuesta $10$ €/m. - Los otros dos lados (ambos de longitud $y$) cuestan $10$ €/m cada uno. Calculamos el coste total de la valla: $$\text{Coste} = 100x + 10x + 10y + 10y = 110x + 20y.$$ Como el presupuesto máximo es de $3000$ euros, establecemos la restricción: $$110x + 20y = 3000.$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo por $10$: $$11x + 2y = 300.$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre identifica primero la **función a optimizar** (área) y la **restricción** (presupuesto).

Queremos maximizar el área del rectángulo, cuya fórmula es: $$A = x \cdot y.$$ Para trabajar con una sola variable, despejamos $y$ de la restricción $11x + 2y = 300$: $$2y = 300 - 11x \implies y = \frac{300 - 11x}{2} = 150 - 5.5x.$$ Sustituimos esta expresión en la fórmula del área: $$A(x) = x \cdot (150 - 5.5x) = 150x - 5.5x^2.$$ **Dominio de la función:** Como las dimensiones deben ser positivas: - $x \gt 0$. - $y \gt 0 \implies 150 - 5.5x \gt 0 \implies x \lt \frac{150}{5.5} \approx 27.27$. Por tanto, el dominio es $D = (0, 27.27)$. $$\boxed{A(x) = 150x - 5.5x^2}$$

Para hallar el máximo, derivamos la función área e igualamos a cero: $$A'(x) = 150 - 2 \cdot 5.5x = 150 - 11x.$$ Igualamos la derivada a cero: $$150 - 11x = 0 \implies 11x = 150 \implies x = \frac{150}{11} \approx 13.64 \text{ metros}.$$ 💡 **Tip:** Los candidatos a máximos o mínimos relativos en funciones derivables siempre anulan la primera derivada.

Estudiamos el signo de $A'(x)$ para confirmar que en $x = \frac{150}{11}$ existe un máximo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \frac{150}{11}) & \frac{150}{11} & (\frac{150}{11}, \frac{300}{11}) \\\hline A'(x) & + & 0 & - \\ A(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - Si $x \lt \frac{150}{11}$, entonces $A'(x) \gt 0$, por lo que la función es creciente. - Si $x \gt \frac{150}{11}$, entonces $A'(x) \lt 0$, por lo que la función es decreciente. Al ser una parábola con coeficiente principal negativo, este máximo relativo es también el **máximo absoluto**. También podemos comprobarlo con la segunda derivada: $$A''(x) = -11.$$ Como $A''\left(\frac{150}{11}\right) = -11 \lt 0$, se confirma la existencia de un máximo.

Una vez hallado el valor de $x$ que maximiza el área, calculamos el valor de $y$: $$y = 150 - 5.5x = 150 - 5.5 \cdot \left(\frac{150}{11}\right).$$ Sustituyendo el valor fraccionario para mayor precisión: $$y = 150 - \frac{11}{2} \cdot \frac{150}{11} = 150 - \frac{150}{2} = 150 - 75 = 75 \text{ metros}.$$ Por tanto, las dimensiones del prado deben ser: - Lado paralelo a la carretera: $x = \frac{150}{11} \approx 13.64 \text{ m}$. - Lados perpendiculares a la carretera: $y = 75 \text{ m}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dimensiones: } 13.64 \text{ m de largo y } 75 \text{ m de ancho}}$$