Puntos de una recta equidistantes a dos planos

**Determina los puntos de la recta $r$ definida por $x = y + 1 = \frac{z - 1}{-3}$ que equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2$.** Para poder calcular distancias, primero necesitamos la ecuación implícita (o general) del plano $\pi_1$. Conocemos un punto $P(-2, 0, 7)$ y dos vectores directores $\vec{u}(1, -2, 0)$ y $\vec{v}(0, 1, -1)$. El vector normal $\vec{n}_1$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n}_1 = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_1 = [(-2) \cdot (-1) \cdot \vec{i} + 0 \cdot 0 \cdot \vec{j} + 1 \cdot 1 \cdot \vec{k}] - [0 \cdot (-2) \cdot \vec{k} + 1 \cdot 0 \cdot \vec{i} + (-1) \cdot 1 \cdot \vec{j}]$$ $$\vec{n}_1 = (2\vec{i} + \vec{k}) - (-\vec{j}) = 2\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = (2, 1, 1)$$ La ecuación del plano es de la forma $2x + y + z + D = 0$. Imponemos que pase por $P(-2, 0, 7)$: $$2(-2) + 0 + 7 + D = 0 \implies -4 + 7 + D = 0 \implies D = -3$$ $$\boxed{\pi_1: 2x + y + z - 3 = 0}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal $(A, B, C)$ de un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano.

Para encontrar puntos específicos de la recta $r$ que cumplan una condición, lo más sencillo es expresar la recta en ecuaciones paramétricas. Dada $r: x = y + 1 = \frac{z - 1}{-3}$, igualamos cada término a un parámetro $t$: 1. $x = t$ 2. $y + 1 = t \implies y = t - 1$ 3. $\frac{z - 1}{-3} = t \implies z - 1 = -3t \implies z = 1 - 3t$ Cualquier punto $P_r$ de la recta tiene la forma: $$\boxed{P_r(t, t-1, 1-3t)}$$ 💡 **Tip:** Las ecuaciones paramétricas permiten expresar las coordenadas $(x, y, z)$ en función de una única variable, lo que simplifica enormemente la resolución de problemas de incidencia y métricos.

La condición del enunciado es que la distancia del punto $P_r$ al plano $\pi_1$ debe ser igual a la distancia del punto $P_r$ al plano $\pi_2$. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Calculamos ambas distancias para $P_r(t, t-1, 1-3t)$: **Para $\pi_1: 2x + y + z - 3 = 0$:** $$d(P_r, \pi_1) = \frac{|2(t) + (t-1) + (1-3t) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|2t + t - 1 + 1 - 3t - 3|}{\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}}$$ **Para $\pi_2: 2x + y - z + 5 = 0$:** $$d(P_r, \pi_2) = \frac{|2(t) + (t-1) - (1-3t) + 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2t + t - 1 - 1 + 3t + 5|}{\sqrt{6}} = \frac{|6t + 3|}{\sqrt{6}}$$ Igualamos las distancias: $$\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{|6t + 3|}{\sqrt{6}} \implies 3 = |6t + 3|$$ 💡 **Tip:** Nota que $d(P_r, \pi_1)$ es constante. Esto significa que la recta $r$ es paralela al plano $\pi_1$.

La ecuación $|6t + 3| = 3$ genera dos posibles casos: **Caso 1:** $$6t + 3 = 3 \implies 6t = 0 \implies t = 0$$ **Caso 2:** $$6t + 3 = -3 \implies 6t = -6 \implies t = -1$$ Obtenemos dos valores distintos para el parámetro $t$, lo que nos dará los dos puntos buscados. 💡 **Tip:** Recuerda que $|a| = b \iff a = b$ o $a = -b$.

Sustituimos los valores de $t$ en la expresión del punto genérico $P_r(t, t-1, 1-3t)$: - Para $t = 0$: $$Q_1(0, 0-1, 1-3(0)) = (0, -1, 1)$$ - Para $t = -1$: $$Q_2(-1, -1-1, 1-3(-1)) = (-1, -2, 1+3) = (-1, -2, 4)$$ Los puntos de la recta $r$ que equidistan de ambos planos son $Q_1$ y $Q_2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Q_1(0, -1, 1) \text{ y } Q_2(-1, -2, 4)}$$