Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**(a) [1 punto] Determina los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A - 2I$ tiene inversa, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3.** En primer lugar, calculamos la matriz $B = A - 2I$ restando 2 veces la identidad a nuestra matriz $A$: $$A - 2I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda-2 & -5 \\ \lambda & 0 & 3-2 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda-2 & -5 \\ \lambda & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que restar $2I$ consiste simplemente en restar 2 a los elementos de la diagonal principal de la matriz $A$.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $B = A - 2I$: $$|A - 2I| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda-2 & -5 \\ \lambda & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda columna, ya que tiene dos ceros: $$|A - 2I| = (\lambda - 2) \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ \lambda & 1 \end{vmatrix} = (\lambda - 2)(1 - \lambda^2)$$ 💡 **Tip:** El desarrollo por los elementos de una fila o columna es muy útil cuando hay ceros. No olvides el signo $(-1)^{i+j}$ asociado a la posición del elemento.

Para hallar los valores críticos, igualamos el determinante a cero: $$(\lambda - 2)(1 - \lambda^2) = 0$$ Esto nos da dos factores: 1. $\lambda - 2 = 0 \implies \lambda = 2$ 2. $1 - \lambda^2 = 0 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = 1, \lambda = -1$ Por tanto, la matriz $A - 2I$ tiene inversa para todos los valores de $\lambda$ excepto $2$, $1$ y $-1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1, 2\}}$$

**(b) [1’5 puntos] Para $\lambda = -2$, resuelve la ecuación matricial $AX = 2X + I$.** Primero, manipulamos la ecuación para despejar la incógnita $X$. Agrupamos los términos con $X$ a un lado: $$AX - 2X = I$$ Factorizamos $X$ por la derecha (es vital respetar el orden en matrices): $$(A - 2I)X = I$$ Llamemos $B = A - 2I$. Como vimos en el apartado (a), para $\lambda = -2$ el determinante es $|B| = (-2 - 2)(1 - (-2)^2) = (-4)(-3) = 12 \neq 0$, por lo que $B$ tiene inversa. Multiplicamos por $B^{-1}$ por la izquierda: $$B^{-1}(B X) = B^{-1} I \implies X = B^{-1}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, no existe la división. Usamos la matriz inversa multiplicando siempre por el mismo lado en ambos miembros.

Para $\lambda = -2$, la matriz es $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -5 & -4 & -5 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Ya sabemos que $|B| = 12$. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(B)$: - $B_{11} = +\begin{vmatrix} -4 & -5 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -4$ - $B_{12} = -\begin{vmatrix} -5 & -5 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -(-5 - 10) = 15$ - $B_{13} = +\begin{vmatrix} -5 & -4 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 8 = -8$ - $B_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $B_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 4 = -3$ - $B_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $B_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -4 & -5 \end{vmatrix} = 0 - 8 = -8$ - $B_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -5 & -5 \end{vmatrix} = -(-5 - 10) = 15$ - $B_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -5 & -4 \end{vmatrix} = -4$ $$Adj(B) = \begin{pmatrix} -4 & 15 & -8 \\ 0 & -3 & 0 \\ -8 & 15 & -4 \end{pmatrix}$$ Trasponemos la matriz de adjuntos: $$(Adj(B))^T = \begin{pmatrix} -4 & 0 & -8 \\ 15 & -3 & 15 \\ -8 & 0 & -4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la inversa es $B^{-1} = \frac{1}{|B|} (Adj(B))^T$.

Finalmente, obtenemos $X$ aplicando la fórmula: $$X = \frac{1}{12} \begin{pmatrix} -4 & 0 & -8 \\ 15 & -3 & 15 \\ -8 & 0 & -4 \end{pmatrix}$$ Si simplificamos dividiendo cada término: ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1/3 & 0 & -2/3 \\ 5/4 & -1/4 & 5/4 \\ -2/3 & 0 & -1/3 \end{pmatrix}}$$