Cálculo de una integral definida por partes

Para resolver la integral $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos(x) dx$, observamos que el integrando es el producto de una función polinómica ($x$) y una función trigonométrica ($\cos(x)$). Este tipo de integrales se resuelven habitualmente mediante el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Elegimos las partes según la regla ALPES (el polinomio $x$ tiene prioridad para ser $u$): - Sea $u = x \implies du = dx$ - Sea $dv = \cos(x) dx \implies v = \int \cos(x) dx = \sin(x)$ Aplicamos la fórmula a la integral indefinida: $$\int x \cos(x) dx = x \sin(x) - \int \sin(x) dx$$ Como la integral del seno es $-\cos(x)$: $$\int x \cos(x) dx = x \sin(x) - (-\cos(x)) = x \sin(x) + \cos(x)$$ La primitiva de nuestra función es: $$\boxed{F(x) = x \sin(x) + \cos(x)}$$

Para calcular la integral definida entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$, utilizamos la **Regla de Barrow**: $$\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$ Sustituimos los límites de integración en nuestra primitiva: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos(x) dx = \left[ x \sin(x) + \cos(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ Calculamos el valor en el límite superior ($x = \frac{\pi}{2}$): $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}(1) + 0 = \frac{\pi}{2}$$ Calculamos el valor en el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = 0 \cdot \sin(0) + \cos(0) = 0(0) + 1 = 1$$ Restamos ambos valores: $$\frac{\pi}{2} - 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.5708}$$