Optimización del área de un rectángulo bajo una parábola

Para resolver este problema de optimización, empezamos identificando los vértices del rectángulo en el primer cuadrante: 1. Un vértice está en el origen: $(0, 0)$. 2. El vértice opuesto está sobre la parábola $y = -x^2 + 3$, por lo que sus coordenadas son $(x, y) = (x, -x^2 + 3)$. Como el rectángulo tiene sus lados paralelos a los ejes de coordenadas, sus dimensiones son: - **Base:** $b = x$ - **Altura:** $h = y = -x^2 + 3$ La función que queremos maximizar es el **área del rectángulo ($A$)**: $$A(x) = ext{base} \cdot ext{altura} = x \cdot (-x^2 + 3)$$ $$A(x) = -x^3 + 3x$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización geométrica, siempre intenta expresar la función objetivo en términos de una sola variable usando las ligaduras del enunciado (en este caso, la ecuación de la parábola).

Dado que el rectángulo debe estar en el **primer cuadrante**, las variables $x$ e $y$ deben ser positivas: 1. $x \gt 0$ 2. $y \gt 0 \implies -x^2 + 3 \gt 0 \implies x^2 \lt 3 \implies x \lt \sqrt{3}$ Por lo tanto, el dominio de nuestra función es el intervalo abierto: $$ ext{Dom}(A) = (0, \sqrt{3})$$ 💡 **Tip:** Definir el dominio es fundamental para asegurar que la solución matemática tenga sentido dentro del contexto geométrico del problema.

Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada de $A(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = rac{d}{dx}(-x^3 + 3x) = -3x^2 + 3$$ Igualamos a cero: $$-3x^2 + 3 = 0 \implies 3x^2 = 3 \implies x^2 = 1$$ $$x = \pm \sqrt{1} \implies x = 1 \quad ext{o} \quad x = -1$$ Como buscamos una solución en el dominio $(0, \sqrt{3})$, el único punto crítico válido es: $$oxed{x = 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos críticos donde la derivada es cero son candidatos a máximos o mínimos relativos.

Para confirmar que en $x = 1$ hay un máximo absoluto, podemos usar el criterio de la segunda derivada o estudiar el signo de la primera derivada. **Criterio de la segunda derivada:** $$A''(x) = -6x$$ Evaluamos en el punto crítico $x = 1$: $$A''(1) = -6(1) = -6 \lt 0$$ Como $A''(1) \lt 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 1$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1) & 1 & (1, \sqrt{3}) \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \hline A(x) & ext{Creciente} ( earrow) & ext{Máximo} & ext{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ Como la función crece antes de $x=1$ y decrece después, confirmamos que es el máximo absoluto en el intervalo.

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos la otra dimensión (la altura $y$): $$x = 1$$ $$y = -x^2 + 3 = -(1)^2 + 3 = -1 + 3 = 2$$ Las dimensiones del rectángulo para que el área sea máxima son: - **Base:** $1 ext{ unidad}$ - **Altura:** $2 ext{ unidades}$ El área máxima sería $A(1) = 1 \cdot 2 = 2 ext{ unidades cuadradas}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{ ext{Base} = 1, \quad ext{Altura} = 2}$$