Geometría: Plano perpendicular, distancia y punto simétrico

**(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$.** Primero, extraemos de las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ su vector director $\vec{v}_r$ y un punto $Q_r$ perteneciente a ella: $$r: \begin{cases} x = 1 + 0\lambda \\ y = 0 - 2\lambda \\ z = 0 + \lambda \end{cases} \implies \begin{cases} Q_r = (1, 0, 0) \\ \vec{v}_r = (0, -2, 1) \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En las ecuaciones paramétricas, los coeficientes de $\lambda$ nos dan las coordenadas del vector director.

Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ debe ser paralelo (o igual) al vector director de la recta $\vec{v}_r$. Por tanto: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (0, -2, 1)$$ La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En este caso: $$0x - 2y + 1z + D = 0 \implies -2y + z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $P(2, 3, -1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$-2(3) + (-1) + D = 0 \implies -6 - 1 + D = 0 \implies D = 7$$ La ecuación del plano es $-2y + z + 7 = 0$, que podemos expresar multiplicando por $-1$ como: ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{2y - z - 7 = 0}$$

**(b) [1’5 puntos] Calcula la distancia del punto $P$ a la recta $r$ y determina el punto simétrico de $P$ respecto de $r$.** Para calcular la distancia de un punto $P$ a una recta $r$, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial: $$d(P, r) = \frac{|\vec{PQ_r} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$$ Calculamos el vector $\vec{PQ_r}$ siendo $P(2, 3, -1)$ y $Q_r(1, 0, 0)$: $$\vec{PQ_r} = (1-2, 0-3, 0-(-1)) = (-1, -3, 1)$$ Realizamos el producto vectorial paso a paso mediante el determinante: $$\vec{PQ_r} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-3+2) - \mathbf{j}(-1-0) + \mathbf{k}(2-0) = (-1, 1, 2)$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{PQ_r} \times \vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$$ $$|\vec{v}_r| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$ La distancia es: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6}{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(P, r) = \frac{\sqrt{30}}{5} \approx 1.095 \text{ u}}$$

Para hallar el punto simétrico $P'$, primero necesitamos el punto $M$ (proyección ortogonal de $P$ sobre $r$). Este punto es la intersección de la recta $r$ con el plano perpendicular $\pi$ hallado en el apartado (a). Sustituimos las expresiones de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi: 2y - z - 7 = 0$: $$2(-2\lambda) - (\lambda) - 7 = 0$$ $$-4\lambda - \lambda - 7 = 0 \implies -5\lambda = 7 \implies \lambda = -\frac{7}{5}$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda$ en la recta $r$: $$x_M = 1$$ $$y_M = -2\left(-\frac{7}{5}\right) = \frac{14}{5}$$ $$z_M = -\frac{7}{5}$$ Así, el punto de intersección es $M\left(1, \frac{14}{5}, -\frac{7}{5}\right)$.

El punto $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, donde $P'$ es el simétrico de $P(2, 3, -1)$ respecto de $r$. Si llamamos $P'(x', y', z')$: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies \left(1, \frac{14}{5}, -\frac{7}{5}\right) = \left(\frac{2+x'}{2}, \frac{3+y'}{2}, \frac{-1+z'}{2}\right)$$ Resolvemos componente a componente: 1) $1 = \frac{2+x'}{2} \implies 2 = 2 + x' \implies x' = 0$ 2) $\frac{14}{5} = \frac{3+y'}{2} \implies 28 = 15 + 5y' \implies 5y' = 13 \implies y' = \frac{13}{5}$ 3) $-\frac{7}{5} = \frac{-1+z'}{2} \implies -14 = -5 + 5z' \implies 5z' = -9 \implies z' = -\frac{9}{5}$ 💡 **Tip:** Recuerda que el punto simétrico de $P$ respecto a una recta es tal que la recta es el eje de simetría, lo que implica que la distancia $PM$ es igual a $MP'$. ✅ **Resultado (Símétrico):** $$\boxed{P'\left(0, \frac{13}{5}, -\frac{9}{5}\right)}$$