Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**(a) [1 punto] Halla las matrices $(A + B)(A - B)$ y $A^2 - B^2$.** Para calcular $(A + B)(A - B)$, llamamos $S = A + B$ y $D = A - B$. Según el enunciado: $$S = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de ambas matrices: $$(A + B)(A - B) = S \cdot D = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 4 \cdot 2 + 2(-1) & 4 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 + 2(-1) & 3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-2 & 16+4 \\ 6-2 & 12+4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de las filas de la primera por los de las columnas de la segunda. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 6 & 20 \\ 4 & 16 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $A^2 - B^2$, primero necesitamos determinar las matrices $A$ y $B$ resolviendo el sistema: 1) $A + B = S$ 2) $A - B = D$ Sumando ambas ecuaciones: $(A+B) + (A-B) = 2A = S + D$: $$2A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \implies A = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Restando ambas ecuaciones: $(A+B) - (A-B) = 2B = S - D$: $$2B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \implies B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos los cuadrados: $$A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 15 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$$ $$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$ Finalmente: $$A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 12 & 15 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 16 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Nota que $(A+B)(A-B) \neq A^2 - B^2$ porque, en general, las matrices no conmutan ($AB \neq BA$). ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 13 & 16 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}}$$

**(b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuación matricial $XA - XB - (A + B)^t = 2I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2 y $(A + B)^t$ la matriz traspuesta de $A + B$.** Primero aislamos el término que contiene la matriz incógnita $X$: $$XA - XB = 2I + (A + B)^t$$ Factorizamos $X$ por la izquierda: $$X(A - B) = 2I + (A + B)^t$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la derecha por la inversa de $(A-B)$, que llamaremos $D^{-1}$: $$X = (2I + (A+B)^t) \cdot (A-B)^{-1}$$ 💡 **Tip:** Al despejar matrices, el orden importa. Como $(A-B)$ está a la derecha de $X$, su inversa debe aparecer a la derecha del segundo miembro.

Calculamos el primer factor $M = 2I + (A+B)^t$: $$(A+B)^t = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos la inversa de $D = A-B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$: 1. Determinante: $|D| = 2 \cdot 2 - (4)(-1) = 4 + 4 = 8$. 2. Matriz adjunta: $\text{Adj}(D) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$. 3. Traspuesta de la adjunta: $(\text{Adj}(D))^t = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. 4. Inversa: $D^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Calculamos $X = M \cdot D^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 6 \cdot 2 + 3 \cdot 1 & 6(-4) + 3 \cdot 2 \\ 2 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 2(-4) + 4 \cdot 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 12+3 & -24+6 \\ 4+4 & -8+8 \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 15 & -18 \\ 8 & 0 \end{pmatrix}$$ Simplificamos dividiendo cada elemento por 8: $$X = \begin{pmatrix} 15/8 & -18/8 \\ 8/8 & 0/8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15/8 & -9/4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} \dfrac{15}{8} & -\dfrac{9}{4} \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$$