Área limitada por una función con valor absoluto y una parábola

**(a) [1 punto] Esboza las gráficas de $f$ y $g$. Determina sus puntos de corte.** Primero, analizamos las funciones para poder representarlas: 1. **Función $g(x) = x^2$**: Es una parábola convexa con vértice en el origen $(0,0)$, simétrica respecto al eje $Y$. 2. **Función $f(x) = 4 - 3|x|$**: Es una función definida a trozos debido al valor absoluto. Recordamos que $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x \lt 0$: $$f(x) = \begin{cases} 4 - 3x & \text{si } x \ge 0 \\ 4 + 3x & \text{si } x \lt 0 \end{cases}$$ Se trata de dos semirrectas que se unen en el punto $(0, 4)$. Es una función simétrica respecto al eje $Y$ (función par), ya que $f(-x) = 4 - 3|-x| = 4 - 3|x| = f(x)$. 💡 **Tip:** Las funciones con valor absoluto suelen presentar un "pico" o punto anguloso donde el argumento del valor absoluto se anula.

Para hallar los puntos de corte igualamos ambas funciones: $f(x) = g(x)$. $$4 - 3|x| = x^2$$ Debido a la simetría de ambas funciones, basta con resolver para $x \ge 0$ (donde $|x| = x$): $$4 - 3x = x^2 \implies x^2 + 3x - 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-8}{2} = -4$ (Se descarta porque estamos en el caso $x \ge 0$) Por simetría, si $x = 1$ es un punto de corte, $x = -1$ también lo será (se puede comprobar resolviendo $x^2 - 3x - 4 = 0$ para $x \lt 0$). Las ordenadas correspondientes son: - Para $x = 1 \implies g(1) = 1^2 = 1$ - Para $x = -1 \implies g(-1) = (-1)^2 = 1$ ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(-1, 1) \text{ y } (1, 1)}$$

**(b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$.** El área buscada es la región comprendida entre $x = -1$ y $x = 1$. Observando las gráficas, vemos que en este intervalo $f(x) \ge g(x)$. Debido a que ambas funciones son pares (simétricas respecto al eje $Y$), el área total es el doble del área desde $0$ hasta $1$: $$A = \int_{-1}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = 2 \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx$$ En el intervalo $[0, 1]$, la función $f(x) = 4 - 3x$. Por tanto: $$A = 2 \int_{0}^{1} (4 - 3x - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Utilizar la simetría simplifica notablemente los cálculos y reduce la probabilidad de cometer errores con los signos de los límites inferiores.

Calculamos la integral definida aplicando la **Regla de Barrow**: $$A = 2 \left[ 4x - \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en el límite superior ($1$) y restamos la evaluación en el límite inferior ($0$): $$A = 2 \left[ \left( 4(1) - \frac{3(1)^2}{2} - \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( 0 \right) \right]$$ $$A = 2 \left( 4 - \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \right)$$ Para sumar las fracciones, buscamos el común denominador ($6$): $$A = 2 \left( \frac{24}{6} - \frac{9}{6} - \frac{2}{6} \right) = 2 \left( \frac{24 - 9 - 2}{6} \right)$$ $$A = 2 \left( \frac{13}{6} \right) = \frac{13}{3}$$ El resultado final se expresa en unidades de superficie. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{13}{3} \approx 4,33 \text{ u}^2}$$