Determinación de parámetros en una función cúbica

**Determina $a, b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en $(1,0)$, y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación $y = -3x + 3$.** Para resolver este ejercicio, necesitamos traducir las condiciones geométricas dadas a ecuaciones algebraicas. La función es $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$. Calculamos sus dos primeras derivadas: 1. **Primera derivada** (relacionada con la pendiente de la tangente): $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ 2. **Segunda derivada** (relacionada con la curvatura y puntos de inflexión): $$f''(x) = 6ax + 2b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las condiciones de un punto $(x_0, y_0)$ en la gráfica de una función suelen ser tres: el punto pertenece a la curva ($f(x_0)=y_0$), la pendiente de la tangente es la derivada ($f'(x_0)=m$) y, si es punto de inflexión, la segunda derivada se anula ($f''(x_0)=0$).

Como la gráfica pasa por el punto $(1,0)$, se debe cumplir que $f(1) = 0$. Sustituimos $x = 1$ en la expresión de $f(x)$: $$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = 0$$ Obtenemos nuestra primera ecuación: $$\boxed{a + b + c = 0}$$ 💡 **Tip:** Si un punto $(x_0, y_0)$ es un punto de la gráfica, siempre se cumple la condición de paso $f(x_0) = y_0$.

Para que en $x = 1$ haya un punto de inflexión, la segunda derivada debe ser igual a cero en ese valor (condición necesaria para funciones polinómicas). Sustituimos $x = 1$ en $f''(x)$: $$f''(1) = 6a(1) + 2b = 0$$ Simplificando la ecuación (dividiendo entre 2): $$6a + 2b = 0 \implies 3a + b = 0$$ De aquí podemos despejar $b$ en función de $a$: $$\boxed{b = -3a}$$ 💡 **Tip:** En un punto de inflexión, la curvatura cambia, lo que implica que $f''(x) = 0$ si la función es suficientemente derivable.

Se nos indica que la recta tangente en el punto $(1,0)$ es $y = -3x + 3$. La pendiente de esta recta es $m = -3$. Sabemos que la pendiente de la recta tangente en $x = 1$ es igual al valor de la derivada $f'(1)$. Por tanto: $$f'(1) = -3$$ Sustituimos en la expresión de la primera derivada: $$f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = -3$$ $$\boxed{3a + 2b + c = -3}$$ 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente en un punto $x = a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. Comparando con la forma explícita $y = mx + n$, vemos que $f'(a) = m$.

Tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1. $a + b + c = 0$ 2. $b = -3a$ 3. $3a + 2b + c = -3$ Sustituimos $b = -3a$ en la primera ecuación: $$a + (-3a) + c = 0 \implies -2a + c = 0 \implies c = 2a$$ Ahora sustituimos $b = -3a$ y $c = 2a$ en la tercera ecuación: $$3a + 2(-3a) + 2a = -3$$ $$3a - 6a + 2a = -3$$ $$-a = -3 \implies \mathbf{a = 3}$$ Calculamos los valores de $b$ y $c$: $$b = -3(3) \implies \mathbf{b = -9}$$ $$c = 2(3) \implies \mathbf{c = 6}$$ La función buscada es $f(x) = 3x^3 - 9x^2 + 6x$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3, \; b = -9, \; c = 6}$$