Intersección recta-plano y punto simétrico respecto a un plano

**(a) [0’75 puntos] Halla el punto de intersección del plano $\pi$ y la recta $r$.** Para hallar el punto de intersección de una recta y un plano, lo más sencillo es expresar la recta en ecuaciones paramétricas y sustituir dichas expresiones en la ecuación del plano. Partimos de las ecuaciones implícitas de $r$: $$r: \begin{cases} 3x - y = 5 \\ x + y - 4z = -13 \end{cases}$$ Podemos despejar $y$ en la primera ecuación: $$y = 3x - 5$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación para despejar $z$ en función de $x$: $$x + (3x - 5) - 4z = -13$$ $$4x - 5 - 4z = -13 \implies 4x + 8 = 4z \implies z = x + 2$$ Si llamamos $x = \lambda$, obtenemos las ecuaciones paramétricas de $r$: $$r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = -5 + 3\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, puedes resolver el sistema considerando una de las variables como parámetro.

Sustituimos las expresiones de $x$, $y$ y $z$ de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi: x + 2y - z = 0$: $$(\lambda) + 2(-5 + 3\lambda) - (2 + \lambda) = 0$$ Operamos para hallar el valor de $\lambda$: $$\lambda - 10 + 6\lambda - 2 - \lambda = 0$$ $$6\lambda - 12 = 0 \implies 6\lambda = 12 \implies \lambda = 2$$ Ahora, sustituimos $\lambda = 2$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener las coordenadas del punto de intersección $P$: $$x = 2$$ $$y = -5 + 3(2) = 1$$ $$z = 2 + (2) = 4$$ ✅ **Resultado (punto de intersección):** $$\boxed{P(2, 1, 4)}$$

**(b) [1’75 puntos] Halla el punto simétrico del punto $Q(1, -2, 3)$ respecto del plano $\pi$.** Para hallar el punto simétrico $Q'$ de $Q$ respecto al plano $\pi$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar una recta $s$ perpendicular a $\pi$ que pase por $Q$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre la recta $s$ y el plano $\pi$ (proyección ortogonal). 3. Usar que $M$ es el punto medio del segmento $QQ'$. El vector normal del plano $\pi: x + 2y - z = 0$ es $\vec{n_\pi} = (1, 2, -1)$. Este vector será el vector director $\vec{v_s}$ de la recta $s$. La recta $s$ pasa por $Q(1, -2, 3)$ y tiene dirección $\vec{v_s} = (1, 2, -1)$: $$s: \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = -2 + 2\mu \\ z = 3 - \mu \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es siempre $(A, B, C)$.

El punto $M$ es la intersección de $s$ con $\pi$. Sustituimos las paramétricas de $s$ en la ecuación de $\pi$: $$(1 + \mu) + 2(-2 + 2\mu) - (3 - \mu) = 0$$ $$1 + \mu - 4 + 4\mu - 3 + \mu = 0$$ $$6\mu - 6 = 0 \implies \mu = 1$$ Sustituimos $\mu = 1$ en la recta $s$ para encontrar $M$: $$M = (1 + 1, -2 + 2(1), 3 - 1) = (2, 0, 2)$$ Este punto $M(2, 0, 2)$ es la proyección de $Q$ sobre el plano $\pi$.

Como $M$ es el punto medio entre $Q(1, -2, 3)$ y $Q'(x', y', z')$, se cumple: $$M = \frac{Q + Q'}{2} \implies Q' = 2M - Q$$ Calculamos las coordenadas de $Q'$: $$x' = 2(2) - 1 = 3$$ $$y' = 2(0) - (-2) = 2$$ $$z' = 2(2) - 3 = 1$$ Por tanto, el punto simétrico es $Q'(3, 2, 1)$. ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{Q'(3, 2, 1)}$$