Inversa de una matriz con parámetros y ecuaciones matriciales

**(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de $\alpha$ para los que la matriz inversa de $A$ es $\frac{1}{12}A$.** Nos piden hallar $\alpha$ tal que $A^{-1} = \frac{1}{12}A$. Multiplicar por la derecha por $A$ suele ser más sencillo que calcular la inversa directamente: $$A^{-1} = \frac{1}{12}A \implies A \cdot A^{-1} = A \cdot \left(\frac{1}{12}A\right)$$ Como $A \cdot A^{-1} = I$ (la matriz identidad), tenemos: $$I = \frac{1}{12} A^2 \implies A^2 = 12I$$ 💡 **Tip:** Trabajar con la condición $A^2 = 12I$ evita tener que calcular la matriz inversa en función de un parámetro y es mucho más rápido y menos propenso a errores.

Calculamos $A^2$ realizando el producto de la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ -\alpha & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ -\alpha & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^2 - \alpha & \alpha + 3 \\ -\alpha^2 - 3\alpha & -\alpha + 9 \end{pmatrix}$$ Igualamos este resultado a $12I$, que es la matriz: $$12I = 12 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}$$

Para que las matrices sean iguales, todos sus elementos deben ser iguales. Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 1) $\alpha^2 - \alpha = 12$ 2) $\alpha + 3 = 0$ 3) $-\alpha^2 - 3\alpha = 0$ 4) $-\alpha + 9 = 12$ De la ecuación (2) obtenemos directamente: $\alpha = -3$. De la ecuación (4) obtenemos: $-\alpha = 3 \implies \alpha = -3$. Debemos comprobar si $\alpha = -3$ satisface las otras dos: - En (1): $(-3)^2 - (-3) = 9 + 3 = 12$ (Se cumple). - En (3): $-(-3)^2 - 3(-3) = -9 + 9 = 0$ (Se cumple). ✅ **Resultado (valores de $\alpha$):** $$\boxed{\alpha = -3}$$

**(b) [1’25 puntos] Para $\alpha = -3$, determina la matriz $X$ que verifica la ecuación $A^tX = B$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.** Sustituimos $\alpha = -3$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Queremos resolver $A^t X = B$. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $(A^t)^{-1}$: $$X = (A^t)^{-1} B$$ 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, el orden importa. Como $A^t$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe aparecer a la izquierda de $B$.

Primero, comprobamos si $A^t$ es invertible calculando su determinante: $$|A^t| = \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (-3)(3) - (3)(1) = -9 - 3 = -12$$ Como $|A^t| \neq 0$, existe la inversa. Calculamos la matriz de adjuntos $(\text{Adj}(A^t))$: $$\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$$ Calculamos su traspuesta: $$\text{Adj}(A^t)^t = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$$ Entonces: $$(A^t)^{-1} = \frac{1}{|A^t|} \text{Adj}(A^t)^t = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/4 & 1/4 \\ 1/12 & 1/4 \end{pmatrix}$$

Ahora calculamos $X = (A^t)^{-1} B$: $$X = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos las matrices: - Fila 1: $(3)(1) + (-3)(-1) = 6$ $(3)(3) + (-3)(4) = 9 - 12 = -3$ $(3)(1) + (-3)(2) = 3 - 6 = -3$ - Fila 2: $(-1)(1) + (-3)(-1) = -1 + 3 = 2$ $(-1)(3) + (-3)(4) = -3 - 12 = -15$ $(-1)(1) + (-3)(2) = -1 - 6 = -7$ $$X = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} 6 & -3 & -3 \\ 2 & -15 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/4 & 1/4 \\ -1/6 & 5/4 & 7/12 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz $X$):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{6} & \frac{5}{4} & \frac{7}{12} \end{pmatrix}}$$