Recta tangente y cálculo de áreas con parábolas

**(a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -2$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = a$, necesitamos el punto de la curva $(a, f(a))$ y la pendiente $m = f'(a)$. Primero, calculamos la imagen de $x = -2$ en la función $f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4$: $$f(-2) = -\frac{1}{4}(-2)^2 + 4 = -\frac{1}{4}(4) + 4 = -1 + 4 = 3.$$ El punto de tangencia es **$P(-2, 3)$**.

Calculamos la derivada de $f(x)$ para obtener la pendiente de la recta tangente: $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{4}x^2 + 4 \right) = -\frac{1}{4}(2x) = -\frac{1}{2}x.$$ Evaluamos en $x = -2$ para obtener la pendiente $m$: $$m = f'(-2) = -\frac{1}{2}(-2) = 1.$$ Utilizamos la ecuación punto-pendiente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - 3 = 1(x - (-2)) \implies y - 3 = x + 2 \implies y = x + 5.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente siempre tiene la forma $y = mx + n$, donde $m$ es el valor de la derivada en el punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = x + 5}$$

**(b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta $y = x + 5$. Calcula el área de este recinto.** Llamamos $h(x) = x + 5$ a la recta hallada en el apartado anterior. Para delimitar el recinto, buscamos los puntos de corte entre las tres funciones: 1. **Corte entre $f(x)$ y $g(x)$:** $$-\frac{1}{4}x^2 + 4 = x^2 - 1 \implies 5 = \frac{5}{4}x^2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$$ 2. **Corte entre $g(x)$ y $h(x)$:** $$x^2 - 1 = x + 5 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0 \implies x = 3, \; x = -2.$$ 3. **Corte entre $f(x)$ y $h(x)$:** Como vimos en el apartado (a), la recta es tangente a $f$ en $x = -2$. No hay otros puntos de corte ya que $f$ es una parábola cóncava hacia abajo y la recta queda por encima. Los puntos clave son **$x = -2$** (donde coinciden las tres), **$x = 2$** (donde $f$ y $g$ se cruzan) y **$x = 3$** (donde $g$ y $h$ se cruzan).

A partir de los puntos de corte, observamos que el recinto queda dividido en dos partes respecto al eje $X$: - Desde $x = -2$ hasta $x = 2$, el recinto está limitado superiormente por $h(x)$ e inferiormente por $f(x)$. - Desde $x = 2$ hasta $x = 3$, el recinto está limitado superiormente por $h(x)$ e inferiormente por $g(x)$. Observemos que la función $g(x)$ queda por debajo de $f(x)$ en el intervalo $[-2, 2]$. El área total será la suma de estas dos regiones.

El área $A$ se calcula como la suma de dos integrales definidas: $$A = \int_{-2}^{2} [h(x) - f(x)] \, dx + \int_{2}^{3} [h(x) - g(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{-2}^{2} \left( (x+5) - \left(-\frac{1}{4}x^2+4\right) \right) dx + \int_{2}^{3} \left( (x+5) - (x^2-1) \right) dx$$ $$A = \int_{-2}^{2} \left( \frac{1}{4}x^2 + x + 1 \right) dx + \int_{2}^{3} \left( -x^2 + x + 6 \right) dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $u(x)$ y $v(x)$ en $[a, b]$ es $\int_a^b |u(x) - v(x)| \, dx$.

Calculamos $A_1 = \int_{-2}^{2} \left( \frac{1}{4}x^2 + x + 1 \right) dx$ aplicando la regla de Barrow: $$A_1 = \left[ \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{-2}^{2} = \left[ \frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{-2}^{2}$$ $$A_1 = \left( \frac{8}{12} + \frac{4}{2} + 2 \right) - \left( \frac{-8}{12} + \frac{4}{2} - 2 \right)$$ $$A_1 = \left( \frac{2}{3} + 4 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 0 \right) = \frac{2}{3} + 4 + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3} \text{ u}^2$$

Calculamos $A_2 = \int_{2}^{3} \left( -x^2 + x + 6 \right) dx$: $$A_2 = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{2}^{3}$$ $$A_2 = \left( -\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 18 \right) - \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 12 \right)$$ $$A_2 = \left( -9 + 4.5 + 18 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 14 \right) = 13.5 - 14 + \frac{8}{3}$$ $$A_2 = -0.5 + \frac{8}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{8}{3} = \frac{-3 + 16}{6} = \frac{13}{6} \text{ u}^2$$

Sumamos ambas áreas para obtener el área total del recinto: $$A = A_1 + A_2 = \frac{16}{3} + \frac{13}{6} = \frac{32}{6} + \frac{13}{6} = \frac{45}{6} = \frac{15}{2}$$ El área total es **$7.5 \text{ u}^2$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 7.5 \text{ u}^2}$$