Estudio de una función racional: asíntotas, monotonía y extremos

**(a) [1’25 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de la función.** Primero, identificamos el dominio de la función. Como el denominador se anula en $x = 0$, el dominio es $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Buscamos la asíntota vertical en este punto: $$\lim_{x \to 0} \frac{3x^4 + 1}{x^3} = \frac{1}{0} = \pm\infty$$ Para precisar el comportamiento, calculamos los límites laterales: - $\lim_{x \to 0^-} \frac{3x^4 + 1}{x^3} = -\infty$ (ya que $x^3 < 0$ para valores negativos cercanos a 0). - $\lim_{x \to 0^+} \frac{3x^4 + 1}{x^3} = +\infty$ (ya que $x^3 > 0$ para valores positivos cercanos a 0). 💡 **Tip:** Existe una asíntota vertical en $x = a$ si alguno de los límites laterales en ese punto tiende a infinito. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 0}$$

Para las asíntotas horizontales, calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^4 + 1}{x^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^4}{x^3} = \lim_{x \to \pm\infty} 3x = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Al ser el grado del numerador (4) exactamente una unidad mayor que el del denominador (3), existe una **asíntota oblicua** del tipo $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^4 + 1}{x^4} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + 1/x^4}{1} = 3$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x^4 + 1}{x^3} - 3x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^4 + 1 - 3x^4}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^3} = 0$$ 💡 **Tip:** Si al dividir la función por $x$ obtenemos un valor finito $m \neq 0$, y luego $f(x)-mx$ da un valor finito $n$, la asíntota oblicua es $y=mx+n$. ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{y = 3x}$$

**(b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para estudiar la monotonía, derivamos la función $f(x) = \frac{3x^4 + 1}{x^3}$. Podemos simplificar la expresión antes de derivar: $$f(x) = \frac{3x^4}{x^3} + \frac{1}{x^3} = 3x + x^{-3}$$ Derivamos: $$f'(x) = 3 - 3x^{-4} = 3 - \frac{3}{x^4}$$ Expresamos la derivada como una única fracción para facilitar el estudio del signo: $$f'(x) = \frac{3x^4 - 3}{x^4} = \frac{3(x^4 - 1)}{x^4}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 3(x^4 - 1) = 0 \implies x^4 = 1 \implies x = \pm \sqrt[4]{1} \implies x = 1, x = -1$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos y los puntos de discontinuidad del dominio (en este caso $x=0$) dividen la recta real en los intervalos de estudio.

Analizamos el signo de $f'(x) = \frac{3(x^4 - 1)}{x^4}$ en los intervalos definidos por $x=-1$, $x=0$ y $x=1$. Nótese que el denominador $x^4$ siempre es positivo para $x \neq 0$, por lo que el signo depende solo de $x^4 - 1$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & +\\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento:** $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ **Intervalos de decrecimiento:** $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$ 💡 **Tip:** Es fundamental incluir el punto de discontinuidad $x=0$ en la tabla, aunque la función no esté definida allí, ya que el signo de la derivada podría cambiar (aunque en este caso no lo hace).

A partir del análisis anterior, calculamos las coordenadas de los extremos: - En **$x = -1$**, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**: $$f(-1) = \frac{3(-1)^4 + 1}{(-1)^3} = \frac{3 + 1}{-1} = -4$$ - En **$x = 1$**, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**: $$f(1) = \frac{3(1)^4 + 1}{(1)^3} = \frac{3 + 1}{1} = 4$$ ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \\ &\text{Decrecimiento: } (-1, 0) \cup (0, 1) \\ &\text{Máximo relativo: } (-1, -4) \\ &\text{Mínimo relativo: } (1, 4) \end{aligned}}$$