Vectores, Dependencia Lineal y Volumen del Tetraedro

**(a) [1’25 puntos] ¿Existe algún valor de $k$ para el que los vectores $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ y $\vec{CD}$ sean linealmente dependientes?** Primero, obtenemos las componentes de los vectores restando las coordenadas de sus extremos: $$\vec{AB} = B - A = (k+1 - (-1), 0 - k, 2 - 3) = (k+2, -k, -1)$$ $$\vec{BC} = C - B = (1 - (k+1), 2 - 0, 0 - 2) = (-k, 2, -2)$$ $$\vec{CD} = D - C = (2 - 1, 0 - 2, 1 - 0) = (1, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un vector que une dos puntos $P$ y $Q$ se calcula siempre como extremo menos origen: $\vec{PQ} = Q - P$.

Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente dependientes si el determinante de la matriz formada por sus componentes es igual a cero. Planteamos el determinante: $$|M| = \begin{vmatrix} k+2 & -k & -1 \\ -k & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus: $$|M| = (k+2) \cdot 2 \cdot 1 + (-k) \cdot (-2) \cdot 1 + (-1) \cdot (-k) \cdot (-2) - [1 \cdot 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) \cdot (k+2) + 1 \cdot (-k) \cdot (-k)]$$ $$|M| = (2k+4) + 2k - 2k - [-2 + 4(k+2) + k^2]$$ $$|M| = 2k + 4 - [-2 + 4k + 8 + k^2]$$ $$|M| = 2k + 4 - k^2 - 4k - 6 = -k^2 - 2k - 2$$ 💡 **Tip:** Tres vectores son linealmente dependientes si son coplanarios, lo que equivale a que el volumen del paralelepípedo que definen (su producto mixto) sea cero.

Igualamos el determinante a cero para hallar el valor de $k$: $$-k^2 - 2k - 2 = 0 \implies k^2 + 2k + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$k = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2}$$ Como el discriminante es negativo, **no existen valores reales de $k$** que satisfagan la ecuación. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } k \text{ real para el que los vectores sean dependientes}}$$

**(b) [1’25 puntos] Calcula los valores de $k$ para los que los puntos $A, B, C$ y $D$ forman un tetraedro de volumen 1.** El volumen de un tetraedro formado por los puntos $A, B, C$ y $D$ viene dado por la fórmula: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$$ Sin embargo, por las propiedades de los determinantes, el producto mixto de los vectores de las aristas concurrentes es igual al producto mixto de los vectores del apartado anterior: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = [\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}] = -k^2 - 2k - 2$$ Esto se debe a que $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ y $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$. Sumar a una fila otras filas de la matriz no altera el valor del determinante. 💡 **Tip:** El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del determinante formado por los vectores que parten de un mismo vértice.

Igualamos la fórmula del volumen a 1: $$\frac{1}{6} |-k^2 - 2k - 2| = 1 \implies |k^2 + 2k + 2| = 6$$ Esto nos da dos posibles casos debido al valor absoluto: **Caso 1:** $$k^2 + 2k + 2 = 6 \implies k^2 + 2k - 4 = 0$$ $$k = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$$ **Caso 2:** $$k^2 + 2k + 2 = -6 \implies k^2 + 2k + 8 = 0$$ Calculamos el discriminante: $\Delta = 2^2 - 4(1)(8) = 4 - 32 = -28$. Al ser negativo, este caso no aporta soluciones reales.

Los valores de $k$ para los cuales el volumen del tetraedro es 1 son los obtenidos en el Caso 1. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{k = -1 + \sqrt{5}, \quad k = -1 - \sqrt{5}}$$