Rango de una matriz con parámetro y resolución de ecuación matricial

**(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de $A$ dependiendo de los valores de $\alpha$.** Para estudiar el rango de la matriz $A$, calculamos primero su determinante. El rango será el orden del mayor menor no nulo. Empezamos buscando los valores de $\alpha$ que hacen $|A| = 0$. Calculamos el determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & -1 \\ -1 & -1 & \alpha \end{vmatrix} = (\alpha^3 + 1 + 1) - (\alpha + \alpha + \alpha) = \alpha^3 + 2 - 3\alpha$$ Reordenando el polinomio: $$|A| = \alpha^3 - 3\alpha + 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $3 \times 3$, el rango es 3 si su determinante es distinto de cero. Si es cero, el rango será 2 o 1.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$\alpha^3 - 3\alpha + 2 = 0$$ Probamos con divisores del término independiente (2) para aplicar Ruffini. Probamos con $\alpha = 1$: $$1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$ Dividimos por $(\alpha - 1)$: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array}$$ La ecuación queda como $(\alpha - 1)(\alpha^2 + \alpha - 2) = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las soluciones son: $$\alpha_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad \alpha_2 = \frac{-4}{2} = -2$$ Por tanto, el determinante es cero si **$\alpha = 1$** (raíz doble) o **$\alpha = -2$**.

Analizamos los diferentes casos según el valor de $\alpha$: **Caso 1: $\alpha \neq 1$ y $\alpha \neq -2$** Si el valor de $\alpha$ es distinto de $1$ y $-2$, el determinante $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango es máximo: $$\text{rg}(A) = 3$$ **Caso 2: $\alpha = 1$** La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que todas las filas (y columnas) son proporcionales ($F_1 = F_2 = -F_3$). Solo hay una fila linealmente independiente. $$\text{rg}(A) = 1$$ **Caso 3: $\alpha = -2$** La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 distinto de cero: $$\text{rg}(A) = 2$$ ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \alpha \neq 1, -2 & \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } \alpha = 1 & \text{rg}(A) = 1 \\ \text{Si } \alpha = -2 & \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**(b) [0’75 puntos] Para $\alpha = 2$, resuelve la ecuación matricial $AX = B$.** Si $\alpha = 2$, hemos visto en el apartado anterior que $|A| \neq 0$, por lo que existe la matriz inversa $A^{-1}$. La solución de la ecuación es: $$AX = B \implies X = A^{-1}B$$ Primero, calculamos el valor del determinante para $\alpha = 2$: $$|A| = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4$$ La matriz $A$ para este valor es: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para despejar $X$ en $AX=B$, debemos multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros.

Para hallar $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$, calculamos primero los adjuntos de los elementos de $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 3; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -1; \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -1; \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 3; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1; \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Como es simétrica, $\text{Adj}(A)^T = \text{Adj}(A)$. La inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si la matriz original es simétrica, su inversa también lo será.

Calculamos $X$ multiplicando $A^{-1}$ por $B$: $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto matriz por columna: $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} (3 \cdot 0) + (-1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) \\ (-1 \cdot 0) + (3 \cdot 1) + (1 \cdot 1) \\ (1 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (3 \cdot 1) \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$$ Simplificando: $$X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}$$