Área limitada por dos funciones cuadráticas

**(a) [0’75 puntos] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.** Para hallar los puntos de corte entre las dos funciones, igualamos sus expresiones $f(x) = g(x)$: $$6x - x^2 = x^2 - 2x$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación de segundo grado: $$2x^2 - 8x = 0$$ Factorizamos la expresión: $$2x(x - 4) = 0$$ Las soluciones de esta ecuación son: - $x_1 = 0$ - $x_2 = 4$ Para obtener las ordenadas ($y$), sustituimos en cualquiera de las funciones originales: - Si $x = 0 \implies f(0) = 6(0) - 0^2 = 0$. Punto: $(0, 0)$. - Si $x = 4 \implies f(4) = 6(4) - 4^2 = 24 - 16 = 8$. Punto: $(4, 8)$. 💡 **Tip:** Los puntos de corte son fundamentales porque delimitan los extremos de integración para el cálculo del área en el siguiente apartado. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0, 0) \text{ y } (4, 8)}$$

Para realizar el esbozo, identificamos que ambas funciones son parábolas: 1. **Función $f(x) = -x^2 + 6x$**: - Es una parábola cóncava hacia abajo (coeficiente de $x^2$ negativo). - Vértice: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(-1)} = 3$. La ordenada es $f(3) = 6(3) - 3^2 = 9$. Vértice en $(3, 9)$. - Puntos de corte con el eje $X$: $x(6 - x) = 0 \implies x=0, x=6$. 2. **Función $g(x) = x^2 - 2x$**: - Es una parábola cóncava hacia arriba (coeficiente de $x^2$ positivo). - Vértice: $x_v = \frac{-(-2)}{2(1)} = 1$. La ordenada es $g(1) = 1^2 - 2(1) = -1$. Vértice en $(1, -1)$. - Puntos de corte con el eje $X$: $x(x - 2) = 0 \implies x=0, x=2$. Representamos ambas funciones teniendo en cuenta los puntos de corte hallados anteriormente $(0,0)$ y $(4,8)$. El recinto queda encerrado entre ambas curvas desde $x=0$ hasta $x=4$.

**(b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$.** El área del recinto limitado por dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la de "arriba" menos la de "abajo") entre los puntos de corte. En el intervalo $[0, 4]$, observamos que $f(x) \ge g(x)$ (puedes comprobarlo tomando $x=1$: $f(1)=5$ y $g(1)=-1$). El área $A$ será: $$A = \int_{0}^{4} [f(x) - g(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{0}^{4} [(6x - x^2) - (x^2 - 2x)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{4} (6x - x^2 - x^2 + 2x) \, dx = \int_{0}^{4} (8x - 2x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si no estás seguro de qué función está por encima, puedes integrar el valor absoluto de la diferencia $|f(x) - g(x)|$.

Calculamos la integral indefinida (primitiva): $$\int (8x - 2x^2) \, dx = 8\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} = 4x^2 - \frac{2}{3}x^3$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites de integración $0$ y $4$: $$A = \left[ 4x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{4}$$ Calculamos los valores: - Para $x = 4$: $4(4)^2 - \frac{2}{3}(4)^3 = 4(16) - \frac{2}{3}(64) = 64 - \frac{128}{3} = \frac{192 - 128}{3} = \frac{64}{3}$ - Para $x = 0$: $4(0)^2 - \frac{2}{3}(0)^3 = 0$ Restamos ambos resultados: $$A = \frac{64}{3} - 0 = \frac{64}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un área siempre debe ser positiva. Si obtienes un resultado negativo, revisa cuál es la función que está por encima o el orden de los límites. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{64}{3} \approx 21.33 \text{ u}^2}$$