Optimización de un triángulo isósceles

Para resolver este problema de optimización, empezamos definiendo las dimensiones del triángulo isósceles: - Sea $b$ la **base** del triángulo. - Sea $x$ la longitud de cada uno de los dos **lados iguales**. - Sea $h$ la **altura** relativa a la base. El enunciado nos da el perímetro $P=8$, por lo que la restricción es: $$b + 2x = 8 \implies 2x = 8 - b \implies x = 4 - \frac{b}{2}$$ Como las longitudes deben ser positivas: 1. $b \gt 0$ 2. $x \gt 0 \implies 4 - \frac{b}{2} \gt 0 \implies b \lt 8$ Además, por la desigualdad triangular, la suma de dos lados debe ser mayor que el tercero ($2x \gt b$), lo que nos acota el dominio a $b \in (0, 4)$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización con figuras geométricas, siempre es útil dibujar un esquema y establecer las relaciones entre las variables usando teoremas conocidos como el de Pitágoras.

En un triángulo isósceles, la altura divide a la base en dos segmentos iguales de longitud $b/2$. Aplicamos el **teorema de Pitágoras** en uno de los triángulos rectángulos formados: $$h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = x^2$$ Sustituimos $x = 4 - \frac{b}{2}$: $$h^2 + \frac{b^2}{4} = \left(4 - \frac{b}{2}\right)^2$$ $$h^2 + \frac{b^2}{4} = 16 - 4b + \frac{b^2}{4}$$ Despejamos $h$: $$h^2 = 16 - 4b \implies h = \sqrt{16 - 4b}$$ Para que la altura sea un número real, $16 - 4b \gt 0$, lo que confirma $b \lt 4$. $$\boxed{h = \sqrt{16 - 4b}}$$

La función que queremos maximizar es el área del triángulo, $A = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$: $$A(b) = \frac{b \cdot \sqrt{16 - 4b}}{2}$$ Para facilitar la derivación, podemos introducir $b$ dentro de la raíz: $$A(b) = \frac{1}{2} \sqrt{b^2(16 - 4b)} = \frac{1}{2} \sqrt{16b^2 - 4b^3}$$ 💡 **Tip:** Maximizar una función positiva $f(x)$ es equivalente a maximizar su cuadrado $[f(x)]^2$, lo cual suele simplificar mucho las derivadas al eliminar las raíces cuadradas. Vamos a maximizar $f(b) = 16b^2 - 4b^3$.

Calculamos la derivada de $f(b) = 16b^2 - 4b^3$ para hallar los puntos críticos: $$f'(b) = 32b - 12b^2$$ Igualamos a cero: $$32b - 12b^2 = 0 \implies 4b(8 - 3b) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $b = 0$ (no válida ya que no habría triángulo). 2. $8 - 3b = 0 \implies b = \frac{8}{3}$. Para comprobar que es un máximo, usamos la segunda derivada: $$f''(b) = 32 - 24b$$ $$f''\left(\frac{8}{3}\right) = 32 - 24\left(\frac{8}{3}\right) = 32 - 64 = -32 \lt 0$$ Como $f''(8/3) \lt 0$, tenemos un **máximo relativo** en $b = 8/3$. **Tabla de monotonía para el área $A(b)$:** $$\begin{array}{c|ccc} b & (0, 8/3) & 8/3 & (8/3, 4)\\ \hline f'(b) & + & 0 & -\\ \hline A(b) & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} \end{array}$$ ✅ **Resultado (base):** $$\boxed{b = \frac{8}{3}}$$

Ahora calculamos la altura sustituyendo el valor de $b$ en la expresión hallada en el paso 2: $$h = \sqrt{16 - 4\left(\frac{8}{3}\right)} = \sqrt{16 - \frac{32}{3}} = \sqrt{\frac{48 - 32}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}}$$ Racionalizando: $$h = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$ Nota curiosa: Si calculamos los lados iguales $x$: $$x = 4 - \frac{8/3}{2} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12-4}{3} = \frac{8}{3}$$ Como $b = x = 8/3$, el triángulo de área máxima es un **triángulo equilátero**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Base: } \frac{8}{3}, \quad \text{Altura: } \frac{4\sqrt{3}}{3}}$$