Geometría en el espacio: planos y rectas perpendiculares

**(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a $r$ y pasa por $P$.** Para trabajar con la recta $r$, primero obtenemos un punto $A$ y su vector director $\vec{v_r}$. La recta viene dada como intersección de dos planos: $$r: \begin{cases} x + z = 1 \\ y + z = 0 \end{cases}$$ Si parametrizamos haciendo $z = \lambda$: - De $y + z = 0 \implies y = -\lambda$ - De $x + z = 1 \implies x = 1 - \lambda$ La ecuación paramétrica de $r$ es: $$r: \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = -\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos el punto $A(1, 0, 0)$ y el vector director $\vec{v_r} = (-1, -1, 1)$. 💡 **Tip:** El vector director también se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $\vec{n_1}(1, 0, 1)$ y $\vec{n_2}(0, 1, 1)$.

Un plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y pasa por el punto $P(1, 1, -1)$ puede determinarse usando el punto $A(1, 0, 0)$ de la recta, el vector director de la recta $\vec{v_r} = (-1, -1, 1)$ y el vector $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = P - A = (1 - 1, 1 - 0, -1 - 0) = (0, 1, -1)$$ La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por Sarrus: $$(x - 1)((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 1) - y((-1) \cdot (-1) - 0 \cdot 1) + z((-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) = 0$$ $$(x - 1)(1 - 1) - y(1) + z(-1) = 0$$ $$0 - y - z = 0 \implies y + z = 0$$ Curiosamente, el plano buscado coincide con uno de los planos que definen la recta $r$. Comprobamos que $P(1, 1, -1)$ pertenece al plano: $1 + (-1) = 0$. Es correcto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y + z = 0}$$

**(b) [1’5 puntos] Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación $y + z = 0$, que es perpendicular a $r$ y pasa por $P$.** Sea $s$ la recta buscada. Se nos dan tres condiciones: 1. $s$ está contenida en el plano $\pi: y + z = 0$. Esto implica que el vector director de la recta, $\vec{v_s}$, es perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (0, 1, 1)$. 2. $s$ es perpendicular a $r$. Esto implica que $\vec{v_s}$ es perpendicular al vector director de $r$, $\vec{v_r} = (-1, -1, 1)$. 3. $s$ pasa por $P(1, 1, -1)$. Al ser $\vec{v_s}$ perpendicular a ambos vectores ($\vec{n_\pi}$ y $\vec{v_r}$), podemos calcularlo mediante su producto vectorial. 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a dos vectores conocidos, su dirección es la del producto vectorial de ambos.

Calculamos $\vec{v_s} = \vec{v_r} \times \vec{n_\pi}$: $$\vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{v_s} = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_s} = \vec{i}(-1 - 1) - \vec{j}(-1 - 0) + \vec{k}(-1 - 0) = -2\vec{i} + 1\vec{j} - 1\vec{k}$$ $$\vec{v_s} = (-2, 1, -1)$$ Este vector director es perpendicular tanto a la recta $r$ como al vector normal del plano, por lo que la recta estará contenida en él si pasa por un punto del mismo (como $P$).

Utilizamos el punto $P(1, 1, -1)$ y el vector $\vec{v_s} = (-2, 1, -1)$ para escribir la ecuación de la recta en forma paramétrica o continua. En forma continua: $$s: \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{-1}$$ O simplificando los signos: $$s: \frac{x - 1}{-2} = y - 1 = \frac{z + 1}{-1}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s: \begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = 1 + t \\ z = -1 - t \end{cases}}$$