Rango de una matriz con parámetros y sistemas homogéneos

**(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de $A$ según los diferentes valores de $t$.** Para calcular el rango de la matriz $A$ según el parámetro $t$, calculamos primero su determinante $|A|$ y buscamos los valores que lo anulan. $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & t + 1 & t - 1 \\ -2t - 1 & 0 & t + 3 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [1 \cdot (t+1) \cdot (t+3) + 1 \cdot (t-1) \cdot (-2t-1) + 0] - [0 + 0 + (t+3) \cdot 2 \cdot 1]$$ $$|A| = (t^2 + 3t + t + 3) + (-2t^2 - t + 2t + 1) - (2t + 6)$$ $$|A| = t^2 + 4t + 3 - 2t^2 + t + 1 - 2t - 6$$ $$|A| = -t^2 + 3t - 2$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ se calcula sumando el producto de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas, y restando el de la diagonal secundaria y sus paralelas. $$\boxed{|A| = -t^2 + 3t - 2}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $t$ que reducen el rango de la matriz: $$-t^2 + 3t - 2 = 0 \implies t^2 - 3t + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: $$t_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$$ Por tanto, el determinante es cero si **$t = 1$ o $t = 2$**.

Analizamos el rango de $A$ en función de los valores de $t$ obtenidos: **Caso 1: $t \neq 1$ y $t \neq 2$** Si $t$ es distinto de $1$ y $2$, entonces $|A| \neq 0$. Como la matriz es de orden $3$, el rango es máximo. $$\text{rg}(A) = 3$$ **Caso 2: $t = 1$** La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo. Por ejemplo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ **Caso 3: $t = 2$** La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ -5 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo. Por ejemplo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } t \neq 1 \text{ y } t \neq 2, & \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } t = 1, & \text{rg}(A) = 2 \\ \text{Si } t = 2, & \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**(b) [0’75 puntos] Razona para qué valores de $t$ el sistema homogéneo $AX = 0$ tiene más de una solución.** Un sistema homogéneo $AX = 0$ siempre es compatible, ya que admite al menos la solución trivial $(x, y, z) = (0, 0, 0)$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que un sistema tenga más de una solución (es decir, sea un Sistema Compatible Indeterminado con infinitas soluciones), el rango de la matriz de coeficientes $A$ debe ser menor que el número de incógnitas ($n=3$). $$\text{Sistema Compatible Indeterminado} \iff \text{rg}(A) \lt n$$ De la discusión del apartado (a), sabemos que: - Si $t \neq 1$ y $t \neq 2$, $\text{rg}(A) = 3 = n$ (Sistema Compatible Determinado, solución única). - Si $t = 1$, $\text{rg}(A) = 2 \lt 3$ (Sistema Compatible Indeterminado). - Si $t = 2$, $\text{rg}(A) = 2 \lt 3$ (Sistema Compatible Indeterminado). 💡 **Tip:** En sistemas homogéneos, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser cero para que existan soluciones distintas de la solución trivial. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 1 \text{ y } t = 2}$$