Cálculo de una primitiva con condición inicial

**Determina la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $P(1, 1)$.** Buscamos una función $F(x)$ tal que $F'(x) = f(x)$ y que cumpla la condición $F(1) = 1$. Para ello, calculamos primero la integral indefinida de la función: $$F(x) = \int x(1 - \ln(x)) \, dx$$ Podemos descomponer la integral aplicando la propiedad de linealidad: $$F(x) = \int (x - x \ln(x)) \, dx = \int x \, dx - \int x \ln(x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Una primitiva es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es la función dada. Se obtiene mediante la integral indefinida e incluye siempre una constante de integración $C$.

Resolvemos las dos partes de la integral por separado. 1. La primera es inmediata: $$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$$ 2. Para la segunda, $\int x \ln(x) \, dx$, utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos las variables: - $u = \ln(x) \implies du = \dfrac{1}{x} \, dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \dfrac{x^2}{2}$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ $$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} \right) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4}$$ 💡 **Tip:** Para elegir $u$ en integración por partes, solemos usar la regla **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Potencias, Exponenciales, Senos/Cosenos). Aquí, el logaritmo tiene prioridad para ser $u$.

Sustituimos los resultados anteriores en la expresión de $F(x)$: $$F(x) = \frac{x^2}{2} - \left( \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} \right) + C$$ Simplificamos la expresión agrupando los términos con $x^2$: $$F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln(x) + C$$ Como $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, la primitiva general es: $$\boxed{F(x) = \frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln(x) + C}$$

Para hallar la primitiva específica que pasa por $P(1, 1)$, imponemos que $F(1) = 1$: $$F(1) = \frac{3(1)^2}{4} - \frac{1^2}{2} \ln(1) + C = 1$$ Sabemos que $\ln(1) = 0$, por lo que: $$\frac{3}{4} - 0 + C = 1 \implies C = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ Por tanto, la constante es **$C = \dfrac{1}{4}$**. 💡 **Tip:** Cuando un ejercicio pide que la gráfica pase por un punto $(x_0, y_0)$, simplemente debemos sustituir $x$ por $x_0$ e igualar el resultado a $y_0$ para despejar la constante.

Sustituimos el valor de $C$ en la expresión general para obtener la función buscada: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = \frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln(x) + \frac{1}{4}}$$