Continuidad, derivabilidad y extremos absolutos

**(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea derivable en el intervalo $(\frac{1}{e}, 4)$.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. El único punto de posible discontinuidad en el intervalo abierto es $x=2$. Calculamos los límites laterales en $x=2$: - Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x - \ln(x) + a) = 2 - \ln(2) + a$$ - Límite por la derecha ($x \to 2^+$): $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (bx + 1 - \ln(2)) = 2b + 1 - \ln(2)$$ Para que sea continua en $x=2$, los límites deben ser iguales: $$2 - \ln(2) + a = 2b + 1 - \ln(2)$$ Simplificando $\ln(2)$ en ambos lados: $$2 + a = 2b + 1 \implies a - 2b = -1 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la continuidad es una condición necesaria pero no suficiente para la derivabilidad.

Calculamos la derivada de la función en las ramas (donde es derivable de forma inmediata): $$f'(x) = \begin{cases} 1 - \dfrac{1}{x} & \text{si } \frac{1}{e} < x < 2 \\ b & \text{si } 2 < x < 4 \end{cases}$$ Para que $f$ sea derivable en $x=2$, deben coincidir las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $$f'(2^-) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ - Derivada por la derecha: $$f'(2^+) = b$$ Igualando ambas: $$\boxed{b = \frac{1}{2}}$$ 💡 **Tip:** Al derivar $\ln(x)$, obtenemos $1/x$. La derivada de una constante ($a$ o $1-\ln(2)$) es siempre $0$.

Sustituimos el valor de $b = 1/2$ en la **Ecuación 1** obtenida en el paso de continuidad: $$a - 2\left(\frac{1}{2}\right) = -1$$ $$a - 1 = -1 \implies \boxed{a = 0}$$ Por tanto, para que la función sea derivable en el intervalo indicado, los parámetros deben ser: $$\boxed{a = 0, \quad b = \frac{1}{2}}$$

**(b) [1’25 puntos] Para $a = 0$ y $b = \frac{1}{2}$ halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Con $a=0$ y $b=1/2$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} x - \ln(x) & \text{si } \frac{1}{e} \leq x \leq 2 \\ \frac{1}{2}x + 1 - \ln(2) & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}$$ Los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado pueden encontrarse en: 1. Los extremos del intervalo: $x = 1/e$ y $x = 4$. 2. Los puntos donde la derivada es cero ($f'(x)=0$). 3. Los puntos donde no existe la derivada (aunque aquí sabemos que es derivable en todo el intervalo abierto por el apartado anterior). Buscamos puntos críticos ($f'(x)=0$): - En la primera rama: $1 - 1/x = 0 \implies x = 1$. Como $1 \in [1/e, 2]$, es un candidato válido. - En la segunda rama: $f'(x) = 1/2$. Nunca es cero. Candidatos: $x = 1/e, \quad x = 1, \quad x = 4$. (También evaluaremos en $x=2$ por seguridad, aunque al ser derivable es solo un punto de paso). 💡 **Tip:** El teorema de Weierstrass garantiza que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su máximo y mínimo absolutos.

Evaluamos la función en cada punto candidato: 1. En $x = \frac{1}{e}$: $$f(1/e) = \frac{1}{e} - \ln(1/e) = \frac{1}{e} - (-1) = \frac{1}{e} + 1 \approx 0.368 + 1 = 1.368$$ 2. En $x = 1$: $$f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$$ 3. En $x = 2$: $$f(2) = 2 - \ln(2) \approx 2 - 0.693 = 1.307$$ 4. En $x = 4$: $$f(4) = \frac{1}{2}(4) + 1 - \ln(2) = 2 + 1 - \ln(2) = 3 - \ln(2) \approx 3 - 0.693 = 2.307$$ Comparando los valores: - El valor más pequeño es $1$. - El valor más grande es $3 - \ln(2)$. ✅ **Resultado (Extremos absolutos):** $$\boxed{\text{Mínimo absoluto en } x = 1 \text{ con valor } f(1) = 1}$$ $$\boxed{\text{Máximo absoluto en } x = 4 \text{ con valor } f(4) = 3 - \ln(2)}$$ (Nota: $\frac{1}{e}+1 \approx 1.37$ y $2-\ln(2) \approx 1.31$, por lo que el máximo es efectivamente el punto final del intervalo).