Distancia entre puntos y área de un triángulo en el espacio

**(a) [2 puntos] Halla los puntos de la recta $r$ cuya distancia al punto $P$ es de 3 unidades.** Para trabajar con facilidad con puntos genéricos de la recta $r$, primero expresamos su ecuación en forma paramétrica. La recta viene dada por la intersección de dos planos: $$\begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$ De la primera ecuación despejamos $x$ en función de $y$: $x = y + 2$. Si llamamos $\lambda$ al parámetro $y$, obtenemos las ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 0 \end{cases}$$ Cualquier punto $Q$ que pertenezca a la recta $r$ tendrá la forma genérica: $$\mathbf{Q(2 + \lambda, \lambda, 0)}$$ 💡 **Tip:** Para encontrar puntos a una distancia concreta sobre una recta, siempre es recomendable usar su forma paramétrica para reducir el problema a una sola variable.

Queremos encontrar los valores de $\lambda$ tales que la distancia entre el punto $P(1, -1, 1)$ y el punto genérico $Q(2 + \lambda, \lambda, 0)$ sea igual a 3 unidades. Recordamos que la distancia entre dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$ es: $$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$ Sustituimos las coordenadas: $$d(P, Q) = \sqrt{((2 + \lambda) - 1)^2 + (\lambda - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = 3$$ Simplificamos la expresión dentro de la raíz: $$\sqrt{(1 + \lambda)^2 + (\lambda + 1)^2 + (-1)^2} = 3$$ $$\sqrt{2(1 + \lambda)^2 + 1} = 3$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$2(1 + \lambda)^2 + 1 = 9$$ $$2(1 + \lambda)^2 = 8$$ $$(1 + \lambda)^2 = 4$$

Resolvemos la ecuación cuadrática resultante: $$(1 + \lambda) = \pm \sqrt{4} \implies 1 + \lambda = \pm 2$$ Esto nos da dos posibles valores para el parámetro $\lambda$: 1. $1 + \lambda = 2 \implies \mathbf{\lambda_1 = 1}$ 2. $1 + \lambda = -2 \implies \mathbf{\lambda_2 = -3}$ Ahora, sustituimos estos valores en el punto genérico $Q(2 + \lambda, \lambda, 0)$ para hallar los puntos buscados: - Para $\lambda_1 = 1$: $Q_1(2 + 1, 1, 0) = (3, 1, 0)$ - Para $\lambda_2 = -3$: $Q_2(2 - 3, -3, 0) = (-1, -3, 0)$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q_1(3, 1, 0) \text{ y } Q_2(-1, -3, 0)}$$

**(b) [0’5 puntos] Calcula el área del triángulo $ABP$.** El área de un triángulo cuyos vértices son $A, B$ y $P$ se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de dos de los vectores formados por sus lados. Elegimos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AP}$: Dados $A(1, 0, 0)$, $B(0, 0, 1)$ y $P(1, -1, 1)$: $$\vec{AB} = B - A = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$$ $$\vec{AP} = P - A = (1 - 1, -1 - 0, 1 - 0) = (0, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo es $\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$, donde $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores que parten del mismo vértice.

Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AP}$ mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AP} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \vec{k}((-1) \cdot (-1) - 0 \cdot 0)$$ $$\vec{AB} \times \vec{AP} = \vec{i}(1) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(1) = (1, 1, 1)$$ Ahora calculamos el módulo de este vector: $$|\vec{AB} \times \vec{AP}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ Finalmente, el área del triángulo es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AP}| = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \text{ u}^2}$$