Invertibilidad de matrices y ecuaciones matriciales

**(a) [1 punto] ¿Hay algún valor de $\lambda$ para el que $A$ no tiene inversa?** Una matriz cuadrada $A$ no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero ($|A| = 0$). Vamos a calcular el determinante de $A$ en función del parámetro $\lambda$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Cuando una fila o columna tiene muchos ceros, lo más sencillo es desarrollar por los elementos de esa línea. En este caso, desarrollaremos por la primera fila. $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & \lambda \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1 \cdot (\lambda^2 - (-1)) = \lambda^2 + 1.$$ $$\boxed{|A| = \lambda^2 + 1}$$

Para que la matriz no tenga inversa, se debe cumplir: $$|A| = 0 \implies \lambda^2 + 1 = 0 \implies \lambda^2 = -1$$ En el conjunto de los números reales, no existe ningún valor de $\lambda$ tal que su cuadrado sea $-1$, ya que para cualquier $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lambda^2 \ge 0$, lo que implica que $\lambda^2 + 1 \ge 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } \lambda \in \mathbb{R} \text{ para el cual } A \text{ no tenga inversa.}}$$

**(b) [1’5 puntos] Para $\lambda = 1$, resuelve la ecuación matricial $A^{-1}XA = B$.** Primero, aislamos la matriz $X$ en la ecuación $A^{-1}XA = B$. Para ello, multiplicamos por las matrices adecuadas respetando el orden (izquierda o derecha): 1. Multiplicamos por $A$ por la izquierda: $$A(A^{-1}XA) = AB \implies (AA^{-1})XA = AB \implies I \cdot XA = AB \implies XA = AB$$ 2. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha: $$(XA)A^{-1} = (AB)A^{-1} \implies X(AA^{-1}) = ABA^{-1} \implies X \cdot I = ABA^{-1} \implies X = ABA^{-1}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de los factores importa. No es lo mismo multiplicar por la izquierda que por la derecha ($AB \neq BA$). $$\boxed{X = ABA^{-1}}$$

Para $\lambda = 1$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. Su determinante es $|A| = 1^2 + 1 = 2$. Calculamos la matriz adjunta $Adj(A)$: - $A_{11} = +1, A_{12} = 0, A_{13} = 0$ - $A_{21} = 0, A_{22} = 1, A_{23} = 1$ - $A_{31} = 0, A_{32} = -1, A_{33} = 1$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \implies Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Entonces: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A)^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos $X = (AB)A^{-1}$. Primero hallamos $AB$: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente calculamos $X = (AB)A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \\ -1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & -1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & -1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1 & 1/2 & -1/2 \\ -1 & 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}$$