Área entre una curva y una recta con parámetro

Para calcular el área comprendida entre dos funciones, lo primero que debemos hacer es hallar sus puntos de intersección. Estos puntos determinarán los límites de integración. Igualamos ambas funciones: $$\sqrt{x} = bx$$ Para resolver esta ecuación, elevamos ambos miembros al cuadrado: $$x = (bx)^2 \implies x = b^2x^2$$ Agrupamos los términos en un lado de la ecuación: $$b^2x^2 - x = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(b^2x - 1) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x = 0$ 2. $b^2x - 1 = 0 \implies x = \dfrac{1}{b^2}$ Dado que el enunciado indica que $b \gt 0$, el límite superior es positivo y distinto de cero. Los límites de integración serán **$x = 0$** y **$x = \dfrac{1}{b^2}$**. 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado, siempre es bueno comprobar las soluciones, aunque en este caso, al ser áreas con $b \gt 0$, ambos puntos son válidos para definir la región.

El área $A$ de la región comprendida entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[a, b]$ se calcula como: $$A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$$ En el intervalo $\left(0, \dfrac{1}{b^2}\right)$, la función $y = \sqrt{x}$ está por encima de la recta $y = bx$. Podemos comprobarlo evaluando en un punto intermedio o simplemente observando que cerca de $x=0$, la raíz crece más rápido que la recta. Por tanto, el área es: $$A = \int_{0}^{1/b^2} (\sqrt{x} - bx) \, dx$$ Sabemos por el enunciado que este área debe ser igual a $\dfrac{4}{3}$. $$\boxed{A = \int_{0}^{1/b^2} (x^{1/2} - bx) \, dx = \frac{4}{3}}$$

Calculamos la integral indefinida término a término: $$\int (x^{1/2} - bx) \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{bx^2}{2} = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{b}{2}x^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $1/b^2$: $$A = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{b}{2}x^2 \right]_{0}^{1/b^2}$$ Sustituimos el límite superior: $$A = \left( \frac{2}{3} \left(\frac{1}{b^2}\right)^{3/2} - \frac{b}{2} \left(\frac{1}{b^2}\right)^2 \right) - (0)$$ $$A = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{b^3} - \frac{b}{2} \cdot \frac{1}{b^4} = \frac{2}{3b^3} - \frac{1}{2b^3}$$ Para restar estas fracciones, buscamos un denominador común ($6b^3$): $$A = \frac{4}{6b^3} - \frac{3}{6b^3} = \frac{1}{6b^3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow consiste en evaluar la primitiva en el límite superior y restarle la evaluación en el límite inferior: $F(b) - F(a)$.

Igualamos el resultado de nuestra integral al valor del área proporcionado por el enunciado: $$\frac{1}{6b^3} = \frac{4}{3}$$ Despejamos $b^3$ multiplicando en cruz: $$3 = 24b^3 \implies b^3 = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$$ Calculamos la raíz cúbica: $$b = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$$ Como el enunciado pedía $b \gt 0$, el resultado es válido. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{b = \frac{1}{2}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "b_val", "latex": "b=0.5", "slider": { "hardMin": 0.1, "hardMax": 2 } }, { "id": "f", "latex": "f(x)=\\sqrt{x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=bx", "color": "#ef4444" }, { "id": "area", "latex": "bx \\le y \\le \\sqrt{x}\\{0 \\le x \\le 1/b^2\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 5, "bottom": -0.5, "top": 3 } } }