Optimización de una ventana normanda

**Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro $10\text{ m}$, halla las dimensiones del marco de la de área máxima.** Comenzamos definiendo las variables que determinan las dimensiones de la ventana: - Sea $x$ la base del rectángulo (que coincide con el diámetro del semicírculo). - Sea $y$ la altura de la parte rectangular de la ventana. - El radio del semicírculo será, por tanto, $r = \frac{x}{2}$. El objetivo es maximizar el **área total** de la ventana, que es la suma del área del rectángulo y el área del semicírculo: $$A = \text{Área}_{rect} + \text{Área}_{semicir} = x \cdot y + \frac{1}{2} \pi r^2$$ Sustituyendo $r = \frac{x}{2}$: $$A(x, y) = xy + \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 = xy + \frac{\pi x^2}{8}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, identifica primero la función que quieres maximizar o minimizar y las variables que intervienen.

El enunciado nos indica que el perímetro total es de $10\text{ m}$. El perímetro está formado por la base ($x$), los dos lados verticales ($2y$) y la longitud del arco del semicírculo (la mitad de una circunferencia de radio $r = x/2$): $$P = x + 2y + \frac{1}{2}(2\pi r) = x + 2y + \pi \frac{x}{2} = 10$$ Despejamos $y$ en función de $x$ para poder expresar el área con una sola variable: $$2y = 10 - x - \frac{\pi x}{2}$$ $$y = 5 - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4}$$ Para que la ventana tenga sentido físico, debe cumplirse que $x \gt 0$ e $y \gt 0$.

Sustituimos la expresión de $y$ en la función del área: $$A(x) = x \left( 5 - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4} \right) + \frac{\pi x^2}{8}$$ $$A(x) = 5x - \frac{x^2}{2} - \frac{\pi x^2}{4} + \frac{\pi x^2}{8}$$ Simplificamos los términos con $x^2$ buscando un denominador común ($8$): $$A(x) = 5x - \frac{4x^2}{8} - \frac{2\pi x^2}{8} + \frac{\pi x^2}{8}$$ $$A(x) = 5x - \frac{4x^2 + \pi x^2}{8} = 5x - \frac{4+\pi}{8}x^2$$ Esta es la función a maximizar. $$\boxed{A(x) = 5x - \left(\frac{4+\pi}{8}\right)x^2}$$

Calculamos la derivada de $A(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$A'(x) = 5 - 2 \cdot \left(\frac{4+\pi}{8}\right)x = 5 - \left(\frac{4+\pi}{4}\right)x$$ Igualamos a cero: $$5 - \left(\frac{4+\pi}{4}\right)x = 0 \implies 5 = \frac{4+\pi}{4}x$$ $$x = \frac{20}{4+\pi} \approx 2.80\text{ m}$$ **Estudio del signo de $A'(x)$:** Como $A'(x)$ es una recta con pendiente negativa, antes del valor crítico es positiva y después negativa. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \frac{20}{4+\pi}) & \frac{20}{4+\pi} & (\frac{20}{4+\pi}, \dots) \\\hline A'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ Esto confirma que en $x = \frac{20}{4+\pi}$ hay un **máximo relativo**.

Para asegurar que es un máximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = -\frac{4+\pi}{4}$$ Como $A''(x) \lt 0$ para cualquier valor de $x$, la función es siempre cóncava hacia abajo y el punto crítico hallado es efectivamente un **máximo absoluto**. Calculamos ahora la altura $y$: $$y = 5 - \frac{20/(4+\pi)}{2} - \frac{\pi(20/(4+\pi))}{4} = 5 - \frac{10}{4+\pi} - \frac{5\pi}{4+\pi}$$ $$y = \frac{5(4+\pi) - 10 - 5\pi}{4+\pi} = \frac{20 + 5\pi - 10 - 5\pi}{4+\pi} = \frac{10}{4+\pi}$$ Notamos que $y = \frac{x}{2}$, es decir, la altura del rectángulo es igual al radio del semicírculo. ✅ **Resultado final:** Las dimensiones para el área máxima son: $$\boxed{\text{Base } (x) = \frac{20}{4+\pi} \text{ m} \approx 2.80 \text{ m}}$$ $$\boxed{\text{Altura del rectángulo } (y) = \frac{10}{4+\pi} \text{ m} \approx 1.40 \text{ m}}$$