Recta paralela a un plano que corta a otra recta

Para resolver este problema, debemos encontrar una recta $r$ que cumpla tres condiciones: 1. Pasa por el punto $P(3, 1, -1)$. 2. Es paralela al plano $\pi_1: 3x - y + z - 4 = 0$. 3. Corta a la recta $s$, que es la intersección de $\pi_2$ y $\pi_3$. Empezamos calculando la recta $s = \pi_2 \cap \pi_3$ en forma paramétrica: $$\begin{cases} x - 2y + z - 1 = 0 \\ x + z - 4 = 0 \end{cases}$$ Para resolver el sistema, podemos tomar $z = \lambda$ como parámetro: De la segunda ecuación: $x = 4 - z = 4 - \lambda$. Sustituimos en la primera: $(4 - \lambda) - 2y + \lambda - 1 = 0 \implies 3 - 2y = 0 \implies y = \frac{3}{2}$. Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ son: $$s \equiv \begin{cases} x = 4 - \lambda \\ y = \frac{3}{2} \\ z = \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para hallar la recta intersección de dos planos, basta con resolver el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, dejando una variable como parámetro libre.

Cualquier punto $Q$ que pertenezca a la recta $s$ tendrá la forma: $$Q\left(4 - \lambda, \frac{3}{2}, \lambda\right)$$ Como la recta buscada $r$ pasa por $P(3, 1, -1)$ y corta a $s$ en un punto $Q$, su vector director $\vec{v}_r$ será proporcional al vector $\vec{PQ}$: $$\vec{v}_r = \vec{PQ} = Q - P = \left( (4 - \lambda) - 3, \frac{3}{2} - 1, \lambda - (-1) \right)$$ $$\vec{v}_r = \left( 1 - \lambda, \frac{1}{2}, \lambda + 1 \right)$$ 💡 **Tip:** Si una recta corta a otra, existe un punto común $Q$ que satisface las ecuaciones de ambas.

La recta $r$ debe ser paralela al plano $\pi_1: 3x - y + z - 4 = 0$. Esto significa que el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, debe ser perpendicular al vector normal del plano, $\vec{n}_1 = (3, -1, 1)$. La condición de perpendicularidad se cumple si su producto escalar es cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_1 = 0$$ $$\left( 1 - \lambda, \frac{1}{2}, \lambda + 1 \right) \cdot (3, -1, 1) = 0$$ Desarrollamos la operación: $$3(1 - \lambda) - 1\left(\frac{1}{2}\right) + 1(\lambda + 1) = 0$$ $$3 - 3\lambda - \frac{1}{2} + \lambda + 1 = 0$$ $$4 - \frac{1}{2} - 2\lambda = 0 \implies \frac{7}{2} - 2\lambda = 0$$ $$2\lambda = \frac{7}{2} \implies \lambda = \frac{7}{4}$$ 💡 **Tip:** Una recta es paralela a un plano si su vector director es ortogonal al vector normal del plano ($\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$).

Sustituimos el valor de $\lambda = \frac{7}{4}$ en el vector $\vec{v}_r$: $$\vec{v}_r = \left( 1 - \frac{7}{4}, \frac{1}{2}, \frac{7}{4} + 1 \right) = \left( -\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{11}{4} \right)$$ Para trabajar con números enteros, podemos multiplicar el vector por 4 (ya que solo nos interesa la dirección): $$\vec{v}_r = (-3, 2, 11)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación de una recta, podemos multiplicar o dividir el vector director por cualquier número distinto de cero para simplificar los cálculos.

Ya tenemos el punto $P(3, 1, -1)$ y el vector director $\vec{v}_r = (-3, 2, 11)$. La ecuación continua de la recta $r$ es: $$\frac{x - 3}{-3} = rac{y - 1}{2} = rac{z + 1}{11}$$ También podemos expresarla en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 3 - 3\mu \\ y = 1 + 2\mu \\ z = -1 + 11\mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r \equiv \frac{x - 3}{-3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{11}}$$