Potencias de matrices e inversa

**(a) [0’5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad $A^3 = -I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3.** Para demostrar que $A^3 = -I$, primero calculamos $A^2$ realizando el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento fila por columna: - Fila 1: - $0(0) + 3(1) + 4(-1) = -1$ - $0(3) + 3(-4) + 4(3) = -12 + 12 = 0$ - $0(4) + 3(-5) + 4(4) = -15 + 16 = 1$ - Fila 2: - $1(0) - 4(1) - 5(-1) = -4 + 5 = 1$ - $1(3) - 4(-4) - 5(3) = 3 + 16 - 15 = 4$ - $1(4) - 4(-5) - 5(4) = 4 + 20 - 20 = 4$ - Fila 3: - $-1(0) + 3(1) + 4(-1) = 3 - 4 = -1$ - $-1(3) + 3(-4) + 4(3) = -3 - 12 + 12 = -3$ - $-1(4) + 3(-5) + 4(4) = -4 - 15 + 16 = -3$ $$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto de matrices no es conmutativo en general, pero para potencias de la misma matriz $A \cdot A = A^2$ el orden no influye.

Ahora calculamos $A^3$ multiplicando $A^2 \cdot A$: $$A^3 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ - Fila 1: - $-1(0) + 0(1) + 1(-1) = -1$ - $-1(3) + 0(-4) + 1(3) = 0$ - $-1(4) + 0(-5) + 1(4) = 0$ - Fila 2: - $1(0) + 4(1) + 4(-1) = 0$ - $1(3) + 4(-4) + 4(3) = 3 - 16 + 12 = -1$ - $1(4) + 4(-5) + 4(4) = 4 - 20 + 16 = 0$ - Fila 3: - $-1(0) - 3(1) - 3(-1) = 0$ - $-1(3) - 3(-4) - 3(3) = -3 + 12 - 9 = 0$ - $-1(4) - 3(-5) - 3(4) = -4 + 15 - 12 = -1$ $$A^3 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = -I$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^3 = -I}$$

**(b) [1’25 puntos] Justifica que $A$ es invertible y halla su inversa.** Una matriz cuadrada es invertible si su determinante es distinto de cero. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [0 \cdot (-4) \cdot 4 + 3 \cdot (-5) \cdot (-1) + 4 \cdot 1 \cdot 3] - [4 \cdot (-4) \cdot (-1) + 3 \cdot 1 \cdot 4 + 0 \cdot (-5) \cdot 3]$$ $$|A| = [0 + 15 + 12] - [16 + 12 + 0] = 27 - 28 = -1$$ Como $\det(A) = -1 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. 💡 **Tip:** También se podría justificar a partir de la igualdad $A^3 = -I$. Como el determinante del producto es el producto de determinantes, $|A^3| = |A|^3 = |-I| = -1$. Si el cubo del determinante no es cero, el determinante no puede ser cero.

Para hallar $A^{-1}$, podemos usar la relación demostrada en el apartado anterior: $$A^3 = -I \implies A \cdot A^2 = -I$$ Si multiplicamos por $-1$ en ambos lados: $$A \cdot (-A^2) = I$$ Por la definición de matriz inversa ($A \cdot A^{-1} = I$), concluimos que: $$A^{-1} = -A^2$$ Utilizando la matriz $A^2$ calculada en el paso 1: $$A^{-1} = - \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}}$$

**(c) [0’75 puntos] Calcula razonadamente $A^{100}$.** Sabemos que $A^3 = -I$. Para calcular potencias altas, buscamos múltiplos del exponente que conocemos. Dividimos 100 entre 3: $$100 = 33 \cdot 3 + 1$$ Expresamos $A^{100}$ usando las propiedades de las potencias: $$A^{100} = A^{3 \cdot 33 + 1} = (A^3)^{33} \cdot A^1$$ Sustituimos $A^3 = -I$: $$A^{100} = (-I)^{33} \cdot A$$ Como el exponente 33 es impar, $(-1)^{33} = -1$, por lo tanto $(-I)^{33} = -I$: $$A^{100} = -I \cdot A = -A$$ Finalmente, calculamos $-A$: $$A^{100} = - \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -4 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad $I$ elevada a cualquier potencia es $I$, y que $I \cdot A = A$.

El valor de la potencia solicitada es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{100} = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -4 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}}$$