Integral indefinida de una función racional

Nos piden calcular la integral indefinida: $$\int \frac{x^3 + x^2}{x^2 + x - 2} dx$$ Observamos que el grado del numerador ($3$) es mayor o igual que el grado del denominador ($2$). Por tanto, lo primero que debemos hacer es realizar la **división de polinomios** para descomponer la fracción. Dividimos $x^3 + x^2$ entre $x^2 + x - 2$: - Multiplicamos el divisor por $x$: $x(x^2 + x - 2) = x^3 + x^2 - 2x$. - Restamos: $(x^3 + x^2) - (x^3 + x^2 - 2x) = 2x$. Obtenemos como cociente $C(x) = x$ y como resto $R(x) = 2x$. Por la propiedad de la división, sabemos que: $$\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \implies \frac{x^3 + x^2}{x^2 + x - 2} = x + \frac{2x}{x^2 + x - 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, siempre debes empezar dividiendo los polinomios. $$\boxed{\int \frac{x^3 + x^2}{x^2 + x - 2} dx = \int x dx + \int \frac{2x}{x^2 + x - 2} dx}$$

Ahora debemos resolver la integral del término racional $\int \frac{2x}{x^2 + x - 2} dx$. Primero, calculamos las raíces del denominador $x^2 + x - 2 = 0$: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son $x_1 = 1$ y $x_2 = -2$. Así, el denominador se factoriza como $(x - 1)(x + 2)$. Planteamos la descomposición en fracciones simples: $$\frac{2x}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$$ Sumando las fracciones: $$2x = A(x + 2) + B(x - 1)$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ dando valores a $x$: - Si $x = 1 \implies 2(1) = A(1 + 2) \implies 2 = 3A \implies A = \frac{2}{3}$ - Si $x = -2 \implies 2(-2) = B(-2 - 1) \implies -4 = -3B \implies B = \frac{4}{3}$ 💡 **Tip:** Al descomponer en fracciones simples, elige las raíces del denominador como valores de $x$ para anular términos y despejar las constantes rápidamente. $$\boxed{\frac{2x}{x^2 + x - 2} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{4/3}{x + 2}}$$

Sustituimos la descomposición en la integral original: $$\int \frac{x^3 + x^2}{x^2 + x - 2} dx = \int x dx + \int \frac{2/3}{x - 1} dx + \int \frac{4/3}{x + 2} dx$$ Resolvemos cada integral por separado: 1. $\int x dx = \frac{x^2}{2}$ 2. $\int \frac{2/3}{x - 1} dx = \frac{2}{3} \ln|x - 1|$ 3. $\int \frac{4/3}{x + 2} dx = \frac{4}{3} \ln|x + 2|$ Agrupamos todos los términos y añadimos la constante de integración $C$. 💡 **Tip:** No olvides el valor absoluto dentro del logaritmo, ya que el argumento debe ser siempre positivo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{x^3 + x^2}{x^2 + x - 2} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3} \ln|x - 1| + \frac{4}{3} \ln|x + 2| + C}$$